2014-2015学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1． A．
=（ ）
B．
C．
D．
2．若三点A（2，3），B（3，4），C（a，b）共线，则有（ ） A． a=3，b=﹣5 B． a﹣b+1=0 C． 2a﹣b=3 D． a﹣2b=0
3．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（ ） A． 外离 B． 外切 C． 相交 D． 内含
4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（ ）
A．
B． π
C． 2π
D． 3π
5．将两个数a=2，b=﹣1交换，使a=﹣1，b=2，下列语句正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知（ ）
A． 甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定 B． 乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定 C． 甲运动员的成绩好，且发挥更稳定 D． 乙运动员的成绩好，且发挥更稳定
7．为了得到函数y=sin（2x﹣ A． 向右平移 C． 向左平移
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
B． 向左平移D． 向右平移
个单位长度 个单位长度
个单位长度 个单位长度
8．如图所示的程序框图，其运行结果（即输出的S值）是（ ）
A． 5 B． 20 C． 30 D． 42
9．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（ ）
A． “至少有1名女生”与“都是女生” B． “至少有1名女生”与“至多1名女生” C． “恰有1名女生”与“恰有2名女生” D． “至少有1名男生”与“都是女生”
10．在△ABC中，已知（ ） A． ﹣
11．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤
）与坐标轴的三个交点P、
B．
C． ﹣
D．
=（cos18°，cos72°），
=（2cos63°，2cos27°），则cos∠B等于
Q、R满足P（1，0），M（2，﹣2）为线段QR的中点，则A=（ ）
A． 2
B．
C．
D． 4
12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且取值范围为（ ） A．
B． [2，4]
C． [3，6]
D． [4，6] ，则
的
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知角α的终边经过点（
），则cosα= ．
14．已知点M（3，﹣4，5）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则点M关于z轴的对称点坐标是 ．
15．已知x∈[0，2π），则使不等式+2cosx≥0成立的x的集合等于 ．
16．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，方向上的投影为 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知角α是钝角，且sinα=．求cosα、tanα和cos2α+sin（π+α）的值．
18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间． （1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
=0且
，则向量
在
19．已知向量=
﹣
，=2
+
，其中
=（﹣1，1），
=（1，0），求：
（Ⅰ）•和|+|的值； （Ⅱ）与夹角θ的余弦值．
20．已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：
A B C D E 63
60
F 73 80
数学成绩（x） 83 78 73 68 物理成绩（y） 75 65 75 65 （1）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩． 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式：
=，．
参考数据：832+782+732+682+632+732=32224， 83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810．
21．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•． （1）求f（x）的对称轴方程；
（2）若对任意实数x∈[，]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．
22．已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y﹣7=0相切． （1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax﹣y﹣2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围； （3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
2014-2015学年广西桂林市高一（下）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的。 1． A．
=（ ）
B．
C．
D．
考点： 三角函数的化简求值． 专题： 计算题；三角函数的求值． 分析： 利用特殊角的三角函数即可得到答案． 解答： 解：∵cos
=﹣．
故选D． 点评： 本题考查特殊角的三角函数值，属于基础题．
2．若三点A（2，3），B（3，4），C（a，b）共线，则有（ ） A． a=3，b=﹣5 B． a﹣b+1=0 C． 2a﹣b=3 D． a﹣2b=0
考点： 直线的斜率． 专题： 直线与圆． 分析： 由题意可得AB的斜率等于BC的斜率，分别由斜率公式可得a，b的式子，化简可得．
解答： 解：由题意可知AB的斜率为k1=BC的斜率为k2=
，
=1，
∵三点A（2，3），B（3，4），C（a，b）共线， ∴k1=k2，即
=1，
化简可得a﹣b+1=0 故选：B 点评： 本题考查直线的斜率公式，属基础题．
3．圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0与圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的位置关系是（ ） A． 外离 B． 外切 C． 相交 D． 内含
考点： 圆与圆的位置关系及其判定． 专题： 计算题；直线与圆．
分析： 由圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4），半径r1=5，圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2，2），半径r2=3，知|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2，由此得到圆C1与圆C2相交．
解答： 解：∵圆C1：x2+y2+2x+8y﹣8=0的圆心C1（﹣1，﹣4）， 半径r1=
=5，
圆C2：x2+y2﹣4x﹣4y﹣1=0的圆心C2（2，2）， 半径r2=∴|C1C2|=
=3，
=3
，|r1﹣r2|=2，
，
∵|r1﹣r2|＜|C1C2|＜r1+r2， ∴圆C1与圆C2相交． 故选C． 点评： 本题考查圆与圆的位置关系的判断，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
4．如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，则阴影部分的面积是（ ）
A．
B． π
C． 2π
D． 3π
考点： 几何概型． 专题： 计算题；概率与统计．
分析： 圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，可得P=结论．
解答： 解：圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是，∴P=
=， =，即可得出
又∵S圆=9π， ∴S阴影=3π， 故选：D． 点评： 本题考查的知识点是根据几何概型的意义进行模拟试验，计算不规则图形的面积，关键是要根据几何概型的计算公式，列出豆子落在阴影区域内的概率与阴影部分面积及圆面积之间的关系．
5．将两个数a=2，b=﹣1交换，使a=﹣1，b=2，下列语句正确的是（ ）
A． B． C． D．
考点： 赋值语句． 专题： 计算题；算法和程序框图． 分析： 要实现两个变量a，b值的交换，需要借助中间量c，先把a的值赋给中间变量c，再把b的值赋给变量a，把c的值赋给变量b，问题解决． 解答： 解：先把a的值赋给中间变量c，这样c=a， 再把b的值赋给变量a， 把c的值赋给变量b， 故选：B 点评： 本题考查的是赋值语句，属于基础题，熟练掌握赋值语句的功能和格式，是解答的关键．
6．根据甲、乙两名篮球运动员某赛季9场比赛得分的茎叶图，可知（ ）
考点： 茎叶图． 专题： 图表型． 分析： 由茎叶图，数据的稳定程度与茎叶图形状的关系，茎叶图中各组数据大部分集中在某个叶上，表示该组数据越稳定，根据数据可直接判断最高分的大小．
解答： 解：由茎叶图可知，甲运动员的得分大部分集中在14～18分之间， 而乙运动员的得分相对比较散且在低分区的较多， 故甲篮球运动员比赛得分更稳定，甲运动员的成绩好． 故选C． 点评： 本题考查的知识点是茎叶图，解题的关键是根据茎叶图的茎是高位，叶是低位，读出茎叶图中所包含的数据，数据稳定在直观上体现在数据大部分集中在某个叶上，属于基础题．
7．为了得到函数y=sin（2x﹣ A． 向右平移 C． 向左平移
A． 甲运动员的成绩好，乙运动员发挥稳定 B． 乙运动员的成绩好，甲运动员发挥稳定 C． 甲运动员的成绩好，且发挥更稳定 D． 乙运动员的成绩好，且发挥更稳定
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象（ ）
B． 向左平移D． 向右平移
个单位长度 个单位长度
个单位长度 个单位长度
考点： 五点法作函数y=Asin（ωx+φ）的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 先将函数变形，再利用三角函数的图象的平移方法，即可得到结论． 解答： 解：∵函数y=sin（2x﹣∴为了得到函数y=sin（2x﹣
）=sin[2（x﹣
）]，
个单位长
）的图象，可以将函数y=sin2x的图象向右平移
度
故选A． 点评： 本题考查三角函数的图象的平移与伸缩变换，注意先伸缩后平移时x的系数，属于基础题．
8．如图所示的程序框图，其运行结果（即输出的S值）是（ ）
A． 5 B． 20 C． 30 D． 42
考点： 程序框图． 专题： 图表型；算法和程序框图． 分析： 模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当i=12时不满足条件i＜12，退出循环，输出S的值为30． 解答： 解：模拟执行程序框图，可得 S=0 i=2
满足条件i＜12，S=2，i=4 满足条件i＜12，S=6，i=6 满足条件i＜12，S=12，i=8 满足条件i＜12，S=20，i=10 满足条件i＜12，S=30，i=12
不满足条件i＜12，退出循环，输出S的值为30． 故选：C． 点评： 本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基础题．
9．某小组有2名男生和2名女生，从中任选2名同学去参加演讲比赛．在下列选项中，互斥而不对立的两个事件是（ ）
A． “至少有1名女生”与“都是女生”
B． “至少有1名女生”与“至多1名女生” C． “恰有1名女生”与“恰有2名女生” D． “至少有1名男生”与“都是女生”
考点： 互斥事件与对立事件． 专题： 概率与统计． 分析： 互斥事件是两个事件不包括共同的事件，对立事件首先是互斥事件，再就是两个事件的和事件是全集，由此规律对四个选项逐一验证即可得到答案 解答： 解：A中的两个事件是包含关系，故不符合要求． B中的两个事件之间有都包含一名女的可能性，故不互斥； C中的两个事件符合要求，它们是互斥且不对立的两个事件； D中的两个事件是对立事件，故不符合要求 故选：C． 点评： 本题考查互斥事件与对立事件，解题的关键是理解两个事件的定义及两事件之间的关系．属于基本概念型题．
10．在△ABC中，已知（ ） A． ﹣
B．
C． ﹣
D．
=（cos18°，cos72°），
=（2cos63°，2cos27°），则cos∠B等于
考点： 平面向量数量积的运算；两角和与差的余弦函数． 专题： 平面向量及应用． 分析： 利用向量模的计算公式、同角三角函数的平方关系可得积运算和两角和差的正弦公式、向量的夹角公式即可得出． 解答： 解：∵∴
==
=（cos18°，cos72°），
=
=
=（2cos63°，2cos27°），
=1，
=2．
，
，再利用数量
=﹣（cos18°，cos72°）•（2cos63°，2cos27°）=﹣2（cos18°sin27°+sin18°cos27°）=﹣
2sin45°=﹣∴
．
=
=﹣
．
故选：A． 点评： 本题考查了向量模的计算公式、同角三角函数的平方关系、数量积运算、两角和差的正弦公式、向量的夹角公式，考查了计算能力，属于基础题．
11．如图，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤）与坐标轴的三个交点P、
Q、R满足P（1，0），M（2，﹣2）为线段QR的中点，则A=（ ）
A． 2
B．
C．
D． 4
考点： 由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；正弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 由题意设出Q（2a，0）a＞0，R（0，b），b＜0，求出a，b的值，通过五点法求出函数的解析式，即可求出A．
解答： 解：∵函数f（x）=Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，|φ|≤点P、Q、R满足P（1，0）、M（2，﹣2）为线段QR的中点， ∴设Q（2a，0），a＞0，R（0，b），b＜0，
）与坐标轴的三个交
则，解得，
即Q（4，0），R（0，﹣4）， 则函数的周期T=2×（4﹣1）=6， 即
，即ω=
， x+φ），
则f（x）=Asin（
∵f（1）=0，且f（0）=﹣4， ∴Asin（即
+φ）=0，且Asinφ=﹣4，
+φ=kπ，k∈Z，
，
则φ=kπ﹣∵φ|≤
，
∴当k=0时，φ=﹣则Asin（﹣
，
）=﹣4，
即解得A=
A=﹣4， =
，
故选：C 点评： 本题考查由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式，求得Q点与R点的坐标是关键，考查识图、运算与求解能力，属于中档题．
12．在Rt△ABC中，CA=CB=3，M，N是斜边AB上的两个动点，且取值范围为（ ） A．
B． [2，4]
C． [3，6]
D． [4，6] ，则
的
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： 通过建立直角坐标系求出AB所在直线的方程，设出M，N的坐标，将﹣1）2，0≤b≤1，求出范围．
解答： 解：以C为坐标原点，CA为x轴建立平面坐标系，
=2（b
则A（3，0），B（0，3），
∴AB所在直线的方程为：y=3﹣x， 设M（a，3﹣a），N（b，3﹣b），且0≤a≤3，0≤b≤3不妨设a＞b， ∵MN=，
∴（a﹣b）2+（b﹣a）2=2， ∴a﹣b=1， ∴a=b+1， ∴0≤b≤2， ∴
=（a，3﹣a）•（b，3﹣b）
=2ab﹣3（a+b）+9 =2（b2﹣2b+3），0≤b≤2，
∴b=1时有最小值4；
当b=0，或b=2时有最大值6， ∴
的取值范围为[4，6]
故选：D 点评： 熟练掌握通过建立直角坐标系、数量积得坐标运算是解题的关键．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。 13．已知角α的终边经过点（
考点： 任意角的三角函数的定义． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由题意可得 x=
，y=
，r=
=1，由此求得cosα= 的值． ）， ），则cosα=
．
解答： 解：∵角α的终边经过点（∴x=∴r=∴cosα==x=故答案为：
，y=
=1，
， ，
点评： 本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
14．已知点M（3，﹣4，5）是空间直角坐标系Oxyz中的一点，则点M关于z轴的对称点坐标是 （﹣3，4，5） ．
考点： 空间中的点的坐标． 专题： 空间位置关系与距离． 分析： 先根据空间直角坐标系对称点的特征，点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为只须将横坐标、纵坐标变成原来的相反数即可，即可得对称点的坐标． 解答： 解：∵在空间直角坐标系中，
点（x，y，z）关于z轴的对称点的坐标为：（﹣x，﹣y，z）， ∴点M（3，﹣4，5）关于z轴的对称点的坐标为： （﹣3，4，5）． 故答案为：（﹣3，4，5） 点评： 本小题主要考查空间直角坐标系、空间直角坐标系中点的坐标特征等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
15．已知x∈[0，2π），则使不等式
+2cosx≥0成立的x的集合等于 [0，]∪[，2π） ．
考点： 余弦函数的图象． 专题： 三角函数的图像与性质． 分析： 根据余弦函数的图象和性质进行求解即可． 解答： 解：由式∵x∈[0，2π）， ∴0≤x≤
或
≤x＜2π，
]∪[
，2π），
+2cosx≥0得式cosx≥﹣
，
即不等式的解集为[0，故答案为：[0，
]∪[
，2π）
点评： 本题主要考查三角函数范围的求解，利用余弦函数的图象和性质是解决本题的关键．
16．△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，方向上的投影为
．
=0且
，则向量
在
考点： 平面向量数量积的运算；向量数乘的运算及其几何意义． 专题： 计算题；平面向量及应用． 分析： 根据
=0得
，可得四边形OBAC是平行四边形，结合
得到四边形OBAC是边长为2的菱形且∠ABO=∠AC0=60°，从而得到∠ACB=∠AC0=30°，利用向量投影的定义即可算出答案． 解答： 解：∵∴
，即
=0，
，可得四边形OBAC是平行四边形，
，
∵△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，得
∴四边形OBAC是边长为2的菱形，且∠ABO=∠AC0=60°， 因此，∠ACB=∠AC0=30°， ∴向量
在
方向上的投影为：
=2cos30°=
．
故答案为：
点评： 本题给出三角形外接圆满足的向量等式，求向量的投影，着重考查了向量的加法法则、向量数量积的运算性质和向量在几何中的应用等知识，属于中档题．
三、解答题：本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知角α是钝角，且sinα=．求cosα、tanα和cos2α+sin（π+α）的值．
考点： 同角三角函数基本关系的运用；二倍角的余弦． 专题： 三角函数的求值． 分析： 由α为钝角，根据sinα的值求出cosα的值，进而求出tanα的值，原式利用诱导公式及二倍角的余弦函数公式化简，将各自的值代入计算即可求出值． 解答： 解：∵α为钝角，sinα=， ∴cosα=﹣
=﹣，tanα=
．
=﹣，
则原式=1﹣2sin2α﹣sinα=﹣
点评： 此题考查了同角三角函数基本关系的运用，以及二倍角的余弦函数公式，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．为了解某市今年初二年级男生的身体素质状况，从该市初二年级男生中抽取了一部分学生进行“掷实心球”的项目测试．成绩低于6米为不合格，成绩在6至8米（含6米不含8米）的为及格，成绩在8米至12米（含8米和12米，假定该市初二学生掷实心球均不超过12米）为优秀．把获得的所有数据，分成[2，4），[4，6），[6，8），[8，10），[10，12]五组，画出的频率分布直方图如图所示．已知有4名学生的成绩在10米到12米之间． （1）求实数a的值及参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据此次测试成绩的结果，试估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）若从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生再进行其它项目的测试，求所抽取的2名学生来自不同组的概率．
考点： 列举法计算基本事件数及事件发生的概率；频率分布直方图． 专题： 概率与统计．
分析： （1）由频率分布直方图的性质可（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解方程即可得到a的值；再根据样本容量=频数÷频率，求出参加“掷实心球”项目测试的人数；
（2）根据题意，成绩在最后两组的为优秀，其频率为0.15+0.05，由频率计算公式即可算出该样本中成绩优秀的人数，根据样本估计总体的原则得出估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率；
（3）由频率计算公式得样本中第一组共有2人，得第二组共有6人．用列举的方法计算出基本事件的总数共有28个，而抽取的2名学生来自不同组构成的基本事件有12个．由此结合古典概型计算公式即可算出所求概率． 解答： 解：（1）由题意可知（0.2+0.15+0.075+a+0.025）×2=1，解得a=0.05． 所以此次测试总人数为
=40．
答：此次参加“掷实心球”的项目测试的人数为40人． （2）由图可知，参加此次“掷实心球”的项目测试的初二男生，成绩优秀的频率为（0.15+0.05）×2=0.4，
则估计从该市初二年级男生中任意选取一人，“掷实心球”成绩为优秀的概率为0.4． （3）设事件A：从此次测试成绩不合格的男生中随机抽取2名学生来自不同组．
由已知，测试成绩在[2，4）有2人，记为a，b；在[4，6）有6人，记为c，d，e，f，g，h． 从这8人中随机抽取2人共28种情况ab，ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh，cd，ce，cf，cg，ch，de，df，dg，dh，ef，eg，eh，fg，fh，gh，
事件A包括共12种情况．ac，ad，ae，af，ag，ah，bc，bd，be，bf，bg，bh， 所以事件A的概率P=
=．
答：随机抽取的2名学生来自不同组的概率．
点评： 本题给出频率分布直方图，求样本中成绩优秀的人数，并求一个随机事件的概率．着重考查了频率分布的计算公式和古典概型计算公式等知识，属于基础题．
19．已知向量=﹣，=2+，其中=（﹣1，1），=（1，0），求：
（Ⅰ）•和|+|的值； （Ⅱ）与夹角θ的余弦值．
考点： 平面向量数量积的运算． 专题： 平面向量及应用．
分析： （I）利用向量的线性运算、数量积的定义与性质即可得出； （II）利用向量的夹角公式即可得出． 解答： 解：（ I）向量==2
+
﹣
=（﹣1，1）﹣（1，0）=（﹣2，1），
=2（﹣1，1）+（1，0）=（﹣1，2）．
=（﹣3，3）． ∴|+|=
=﹣2×（﹣1）+1×2=4．
=3
．（
（II）cosθ===．
点评： 本题考查了向量的线性运算、数量积的定义与性质、向量的夹角公式，属于基础题． 20．已知学生的数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，某班6名学生的数学和物理成绩如表：
A B C D E 63
60
F 73 80
数学成绩（x） 83 78 73 68 物理成绩（y） 75 65 75 65 （1）求物理成绩y对数学成绩x的线性回归方程；
（2）当某位学生的数学成绩为70分时，预测他的物理成绩． 参考公式：用最小二乘法求线性回归方程
的系数公式：
=，．
参考数据：832+782+732+682+632+732=32224， 83×75+78×65+73×75+68×65+63×60+73×80=30810．
考点： 线性回归方程． 专题： 应用题；概率与统计．
分析： （1）根据所给的数据利用最小二乘法．写出线性回归方程的系数和a的值，写出线性回归方程，注意运算过程中不要出错．
（2）将x=70代入所求出的线性回归方程中，得y=68.2，即这个学生的预测他的物理成绩为68.2分．
解答： 解：（1）由题意，==
=70．…（4分）
=73，…（2分）
b==，…（7分）
a=70﹣∴y=x+
=，…（10分）
．…（11分）
（2）由（1）知，当x=70时，y=68.2，…（13分）
∴当某位学生的数学成绩为70分时，估计他的物理成绩为68.2．…（14分）． 点评： 本题考查线性回归方程，是一个基础题，解题的关键是利用最小二乘法写出线性回归系数，注意解题的运算过程不要出错．
21．已知=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），函数f（x）=•． （1）求f（x）的对称轴方程； （2）若对任意实数x∈[
，
]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，求实数m的取值范围．
考点： 三角函数中的恒等变换应用；平面向量数量积的运算． 专题： 三角函数的图像与性质．
分析： （1）利用数量积以及两角和与差的三角函数化简函数的表达式，通过正弦函数的对称轴直接求f（x）的对称轴方程；
（2）利用（1）的函数的解析式，对任意实数x∈[
，
]，不等式f（x）﹣m＜2恒成立，
求出f（x）﹣2在已知范围难度最大值，即可求实数m的取值范围． 解答： （本小题满分14分）
解：（1）由f（x）=•及=（sinx，cosx），=（sinx，sinx），可得
f（x）=sin2x+sinxcosx …（2分） =
…（3分）
=令
…（4分） ，k∈Z，解得x=
，k∈Z．…（5分） ，k∈Z．…（6分）
．…（7分）
所以，f（x）的对称轴方程为x=（2）∵x∈[又∵y=sinx在∴sin又∵sin=
∴f（x）在x∈[
，=sin（
=
）=sin
，
]，∴
上是增函数，
．…（8分） cos
﹣cos
sin
，…（9分） ]，时的最大值是fmax（x）=
=
．…（11分）
∵不等式f（x）﹣m＜2恒成立，即f（x）﹣2＜m恒成立，…（12分） ∴
，即m
，
．…（14分）
所以，实数m的取值范围是
点评： 本题考查向量的数量积的计算．两角和与差的三角函数正弦函数的对称轴方程以及单调性的应用，考查计算能力．
22．已知圆C的圆心在直线y=x+1上，且过点A（1，3），与直线x+2y﹣7=0相切． （1）求圆C的方程；
（2）设直线l：ax﹣y﹣2=0（a＞0）与圆C相交于A、B两点，求实数a的取值范围； （3）在（Ⅱ）的条件下，是否存在实数a，使得弦AB的垂直平分线l过点P（﹣2，4），若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．
考点： 直线和圆的方程的应用． 专题： 计算题．
分析： （1）设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程可得，根据题意把点A代入圆方程，利用点到直线的距离公式求得圆心到直线的距离等于半径联立方程求得t和r，则圆的方程可求得．
（2）把直线方程代入圆的方程，消去y整理利用判别式大于0求得a的范围．
（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为﹣，则l的方程可得，把圆心代入求得a，根据（2）中的范围可知a不符合题意，进而可判断出不存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
解答： 解：（1）解：设圆心坐标为（t，t+1），半径为r，则圆的方程为（x﹣t）2+（y﹣t﹣1）2=r2依题意可知
求得t=0，r=
∴圆的方程为x2+（y﹣1）2=5；
（2）把直线ax﹣y﹣2=0即y=ax﹣2代入圆的方程，消去y整理，得 （a2+1）x2﹣6ax+4=0．由于直线ax﹣y+5=0交圆于A，B两点， 故△=36a2﹣16（a2+1）＞0．即5a2﹣4＞0，由于a＞0，解得a＞所以实数a的取值范围是（
（3）设符合条件的实数a存在，由于a≠0，则直线l的斜率为﹣， l的方程为y=﹣（x+2）+4，即x+ay+2﹣4a=0． 由于l垂直平分弦AB，故圆心M（0，1）必在l上． 所以0+a+2﹣4a=0，解得a=． 由于
，
，+∞）．
．
故不存在实数a，使得过点P（﹣2，4）的直线l垂直平分弦AB．
点评： 本题主要考查了直线与的方程的综合运用．考查了考生综合分析问题和解决问题的能力．
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