例如，一根棒在一定条件下具有\"长度\"这一特性，而我们通常用某次测量的结果作为其长度
5. 如何理解“互斥事件？”
互斥事件是对两个事件而言的。若有A、B两个事件，当事件A发生时事件B就不发生；当事件B发
生时事件A就不发生(也就是说，事件A、B不可能同时发生)，我们就把这种不可能同时发生的两个事
件叫做互斥事件，也有人把它们叫做不相容事件。
基于此，两个可同时发生或同时不发生的事件则不能称作互斥事件。
6. “互斥”与“对立”的关系如何？
\"互斥事件\"和\"对立事件\"都是就两个事件而言的。
互斥事件是不可能同时发生的两个事件，而对立事件是其中必有一个发生的互斥事件。因此，对立事件必须是互斥事件，但互斥事件不一定是对立事件，也就是说,\"互斥\"是\"对立\"的必要但不充分的条件。
例如：\"出现1点\"和\"出现2点\"是互斥的，但不是对立的，因为有可能1点和2点都不出现。
又如：掷一个硬币，\"出现正面\"和\"出现反面\"是对立的。
教你一招：
应用公式P(A+B)=P(A)+P(B)解决问题时，首先要注意前提：A、B两事件必须互斥。
因为一般地，P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)
7. 如何灵活运用公式 ？
求某个事件的概率时，常遇到求“至少...”或“至多...” 等事件概率的问题。 若从正面考察这些事件，它们往往是诸多事件的和或积，求解时很繁琐。但“至少...”、“至
多...”这些事件的对立事件却又比较简单，且其概率也很容易求出。
此时，不妨来一个逆向思考，先求其对立事件的概率，然后再求原来事件的概率。
这就需要运用公式 了。
8.如何理解“独立事件”？
在实际生活中，我们常常注意到事件之间的联系。例如：“昨天晚上没休息好”和“今天考试成绩差”是有联系的。虽然没休息好不一定导致成绩不好，但增大了
成绩不好的可能性。
又如：“某人买彩票没中奖”和“某人听见乌鸦叫”这两个事件，可以认为是互不相关的，因为某人是否听见乌鸦叫，并不影响他中奖的可能性。
“两个事件互不影响”抽象为数学模型，就得到“独立事件”的数学概念，但我们还要注意两者之间的差别。前一句话，是日常生活用语，是不准确的，如果用它来代替“独立事件”的概念，就会产生错误。
例如：“广州下雨”和“北京在同一天下雨”这两个事件，看来是互不相关的，但是它们并不是互相独立的事件。
又如掷一个均匀的骰子，“出现偶数点”和“出现1或2”这两个事件是互相独立的，但如果骰子不是均匀的，那么这两个事件就不一定互相独立的。
所以，判定两个事件是否相互独立，一定要按定义，即根据条件 是否成立来决定。
有一个著名的例子，说明A、B、C三个事件中任意两个事件互相独立，但它们总体并不相互独立。
例：同时抛掷两个均匀的硬币 A={第一个硬币出现正面} B={第二个硬币出现反面}
C={两个硬币同时出现正面，或同时出现反面}，则 ， ，
但 ，可见A、B、C两两互相独立，但三个事件总体并不互相独立。
这个例子正确说明，我们对“两个事件互不影响”的直观概念和“独立事件”的数学概念是有一定差别的。
9.“互斥”与“相互独立”有什么区别？
“互斥事件”与“相互独立事件”是两个不同的概念，二者不能混淆。 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生，两个事相互独立是指一个事件的发生与否对另一个事件发生的概率没有影响。它们虽然都描绘了两个事件间的关系，但所描绘的关系是根本不同的。
若A、B互斥，且P(A)>0, P(B)>0, 则它们不可能互相独立，因为A发生的条件下，B不可能发生，即P(B|A)=0P(B), 所以A、B不是互相独立。
教你一招:
应用公式P(A1A2…An)=P(A1)P(A2)…P(An)解决实际问题时，首先要注意公式应用的前提： A1 ,A2 ,…,An这n个事件是相互独立的.
10.如何认识“独立重复试验”？ 进行一系列试验，在每次试验中事件A或者发生、或者不发生。假设每次试验的结果与其它各次 试验的结果无关，即事件A的概率P(A)在整个系列试验中保持不变，这样的一系列试验叫独立重复试验。 \"独立\"指每次试验的结果与其它各次试验的结果无关，即前次试验发生与否，对后次试验中事件 A发生的概率没有影响，或者说事件A的概率在整个系列试验中保持不变。 \"重复\"指试验为一系列试验，试验并非一次，而是多次。 11.如何正确看待“小概率事件”？ \"小概率事件\"通常指发生的概率小于5%的事件。对于这类事件来说，在大量重复试验中，平均每 试验20次才发生1次，所以认为在一次试验中该事件是几乎不可能发生的。 不过应注意两点：一是这里的\"几乎不可能发生\"，是针对\"一次试验\"来说的，因为如果试验次数 多了，该事件当然是很可能发生的；二是当我们运用\"小概率事件几乎不可能发生的原理\"进行推断 时，也有5%的犯错误的可能。 摸球游戏中谁是真正的赢家？ 在街头巷尾常见一类“摸球游戏”．游戏是这样的：一袋中装有16个大小、形状相同，光滑程度一致的玻璃球．其中8个红色、8个白色．游戏者从中一次摸出8个，8个球中．当红白两种颜色出现以下比数时．摸球者可得到相应的“奖励”或“处罚”： 结果（比数） 奖金（元） A 8:0 10 B 7:1 1 C 6:2 0.5 D 5:3 0.2 E 4:4 -2 注：表中“-2”表示受罚2元 此游戏（实为赌博），从表面上看非常有吸引力，5种可能出现的结果,有4种可得奖,且最高奖达10元,而只有一种情况受罚,罚金只是2元．因此就吸引了许多人特别是好奇的青少年参加,结果却是受罚的多，何以如此呢？其实,这就是概率知识的具体应用：现在是从16个球中任取8个,所有可能的取法为 种,即基本事件总数有限,又因为是任意抽取,保证了等可能性,是典型的古典概型问题．由古典概率计算公式,很容易得到上述5种结果．其对应的概率分别是： 假设进行了1000次摸球试验，5种情况平均出现的次数分别为：0、10、122、487、381次，经营游戏者预期可得： 10×0＋1×10＋0.5×122＋0.2×487-2×381=593.6
（元）．
这个例子的结论可能会使我们大吃一惊，然而正是在这一惊之中．获得了对古典概率更具体、更生动的知识．
12.如何理解“随机变量”？
研究随机现象时，我们通常只关心 结果的某些数量方面。例如，掷一个骰子，我们只关心向上
一面的点数，而不关心骰子落在哪里。 在随机试验中，如果一个变量随着试验结果的不同而取不同
的值，它就是随机变量，也可以说，随机变量是定义在样本空间上的一个函数。
13. 随机变量与普通函数有何区别？
随机变量的定义域是样本空间，也就是说，当一个随机试验的结果确定时，随机变量的值也确定
下来。因此，如不与某次试验联系，就不能确定随机变量的值。 由此可见，随机变量与函数是有一定联系的。
所谓随机变量，实际上是用变量对试验结果的一种刻画，是试验结果(即样本点)和实数之间的一
个对应关系，这与函数概念本质上是相同的，只不过在函数概念中，函数f(x)的自变量是实数x，而
在随机变量的概念中，随机变量的自变量是试验结果(即样本点)。
14.“离散”与“连续”随机变量有何区别？
离散型随机变量和连续型随机变量都是用 来刻画随机试验所出现的结果的，但二者之间又有着 重要的区别：
对于离散型随机变量而言，它所可能取的值为有限个或至多可列个； 而连续型随机变量可取区间内的一切值。
15.如何理解“二项分布”？
二项分布是概率论中最重要的几种分布之一，在实际应用和理论分析中都有重要的地位。
二项分布实际上是对n次独立重复试验从概率分布的角度作出的进一步的阐述，或者说，当随机
变量ξ是n次独立重复试验中某事件恰好发生的次数时，其概率分布称作二项分布。这里之所以把这
种分布称作二项分布，是因为 恰是二项展开式 中的第k+1项的值。
16.二项分布的数学期望有何特点？
设在一次试验中某事件发生的概率是p，η是一次试验中此事件发生的次数，令q=1-p，
则P(η=0)=q，P(η=1)=p, 从而Eη=0×q+1×p=p.
由此可知，在一次试验中该事件平均发生p次。
我们有理由猜想，在n次独立重复试验中，该事件平均发生np次，即若ξ～B(n,p)，则Eξ=np，这 就是ξ的二项分布的期望的特点。
17.如何理解方差、标准差的意义？
随机变量X方差的意义在于描述随机变量稳定与波动、集中与分散的状况。标准差则体现随机变
量取值与其期望值的偏差。标准差是方差的平方根，在量纲上它与数学期望一致。 在实际问题中，若有两个随机变量X、Y，且E(X)=E(Y)或E(X)与E(Y)比较接近时，我们常用
D(X)与D(Y)来比较这两个随机变量。差值大的，则表明该随机变量的取值较为离散，反之则表明它较
为集中。同样，标准差的值较大，则表明该随机变量的取值与其期望值的偏差较大，反之，则表明此 偏差较小。
18.为什么要学习数字特征？
本章的内容似乎数学味有些浓，其实只是计算定义稍多一些而已。而学习的关键在于理解为什么要定义这些数字特征（如期望，方差，矩等）。
例如，当我们聊起一些人的特征时，你会说：\"张三很好认，他的下巴偏左有一颗痣\"。这时\"一颗痣\"就是这个人的形象特征。有了这个特征，你很快就会认出张三了（不是吗？），如鲁迅名著中的\"圆规\"，神话小说的\"二郎神\"（三只眼），在你的脑海中立即会有一个所对应的活生生的人。所以数字特征并不可怕，它是我们采率统计方法的好帮手。
故而，当有一个人问你：\"你们班的同学身高怎样？\"时，你的一种回答方式是：\"我们班上张三身高……，李四身高……，王五身高……，……\"如果你们班有100人，你可能要照此回答15-20分钟，真像给皇帝的奏折，翻了一页又一页，你可能觉得烦了。对的，这就是因为你没有用好数字特征。如果你采用另一种回答方式：\"我们班上大概是1米7几吧\"，这个回答多么简洁形象。你的回答采用了数学期望（平均值）的思想了。事实上，你们班上可能有人1.83米，可能有人1.52米，有高有矮。
实际上，在现实生活中，我们经常会采用第2种方式回答。它事实上是将班上的人的身高求和再除以100，所求得的平均值，而这个现象用数学语言来说，就是每个同学身高的表现概率是相等的，即百分之一，则数学期望为
这时你如果回答中的\"1米7几\"就是上式计算的结果，也就是数字特征中的一个，那么它就是这个班同学身高的数学期望。你说数字特征难学吗？
当然，如果提问者提出\"你们班上的同学身高请一一报告\"时，你就不得不采用第一种回答方式了。
19.为什么要学习中心及限定理？
本章的学习内容相对枯燥些，但实际上确是人们长期以来关心的\"问题的问题\"，也就是当您多问
几个\"为什么\"后的结果． 例如，广东省的高考成绩是采取标准分制的，这样使得招生录取工作每年可控制在相对稳定的范
围内进行，那么您或者会问：\"为什么可采取标准分制？标准分如何产生?\"，如果我告诉您：\" 我们
假设全省的考生服从正态分布，从而换算出每个人的标准分\"，那您可能马上接着问：\"为什么考生成
绩服从正态分布？\"这其实就是中心极限定理所需要告诉大家的事实． 请您先看一看中心极限定理这一节，好吗？
20.拥挤的水房（德莫佛—拉普拉斯定理的例子）
某校有学生5000人，有一个开水房，由于每天傍晚打开水的人较多，经常出现同学排长队的现象，为此校学生会特向学校总务处提议增设水龙头。 学校总务处很重视学生意见，为此召开专门研究会，但在增设多少个水龙头上发生争执，于是希望您给学校总务处参谋参谋。
如果您经过调查，发现每个学生在傍晚一般有1％的时间要占用一个水龙头，现有水龙头数量为45个，请问：
1．未新装水龙头前，拥挤的概率是多少？
2．需至少要装多少个水龙头，才能以95％以上的概率保证不拥挤？ 解：
1.每个学生占用水龙头服从二项分布B（5000，0.01），则直接计算为
直接计算相当麻烦，我们采用近似公式. 已知n=5000,p=0.01，q=0.99，np=50。
怪不得同学们有不少的抱怨。拥挤的概率竟达到0.7611。
2. 欲求m，使得 问题的变形：
1．需至少安装多少个水龙头，才能以99%以上的概率保证不拥挤？
2．若条件中已有水龙头数量改为55个，其余的条件不变,1,2两问结果如何？ 3．若条件中的每个学生占用由1%提高到1.5%，其余的条件不变，则1，2两问结果如何？
21.戏院设座问题
甲、乙两戏院在竞争500名观众，假设每个观众完全随意地选择一个戏院，且观众之间选择戏院是彼此独立的，问每个戏院至少应该设多少个座位才能保证观众因缺少座位而离开的概率小于5%?
解 由于两个戏院的情况相同，故只需考虑甲戏院即可。设甲戏院需设m个座位，定义
， i=1,2,…,500
依题意，
若用x表示选择甲戏院的观众总数，则 ，问题化为求m使 因为E(xi)=D(xi)=0.5 ,由中心极限定理近似地 故 ，
查标准正态分布表知 ，
从而解得 ，即每个戏院至少应该设269个座位。
注释：此题可设计模拟试验：假设两个戏院各有269个座位，每天同时各放一场电影，设每天有500人来看电影。输入观察天数，输出因甲戏院缺座位而有观众离开的天数及其频率。
22.如何理解“简单随机抽样的公平性”？
所谓简单随机抽样的公平性，是指在简单随机抽样过程中，每个个体被抽取的概率都相等。即若
从含有N个个体的总体中抽取一个容量为n的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽取的概率都等于是 。 简单随机抽样的特点是什么？
根据简单随机抽样的定义，可以看到有以下特点：
(1)它要求被抽取样本的总体的个体数有限。这样，便于通过随机抽取的样本对总体进行分析。
(2)它是从总体中逐个地进行抽取。这样，便于在抽样实践中进行操作。 (3)它是一种不放回抽样。由于抽样实践中多采用不放用抽样，使其具有较广泛的实用性，而且
由于所抽取的样本中没有被重复抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。 (4)它是一种等概率抽样。不仅每次从总体中抽取一个个体时，各个个体被抽取的概率相等，而
且在整个抽样过程中，各个个体被抽取的概率也相等，从而保证了这种抽样方法的公平性。
23.“频率分布”与“相应的总体分布”有何关系？
\"频率分布\"是指样本的频率分布，\"总体分布\"是指与样本相应的总体取值的概率分布规律。
频率分布将随着样本容量的增大更加接近总体分布，当样本容量无限增大且分组的组距无限缩小
时，频率分布直方图就会演变成一条光滑曲线--反映总体分布的概率密度曲线。
基于频率分布与相应的总体分布的关系，且通常我们并不知道一个总体的分布，因此，常常从总
体中抽取一个样本，用样本的频率分布去估计相应的总体分布。
24.进行“假设检验”的步骤是什么？
就正态总体而言，进行假设检验可归结为如下三步： (1)提出统计假设.统计假设里的变量服从正态分布N(, 2); (2)确定一次试验中的取值a是否落入范围(-3, +3); (3)作出推断: 如果a (-3, +3), 则接受统计假设。
如果a(-3, +3), 由于这是小概率事件,就拒绝统计假设。
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