反比例函数与一次函数、几何图形综合题
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(建议答题时间：50分钟)
类型一 反比例函数与一次函数综合
k1. (2017)已知反比例函数y＝的图象过点A(3，1)．
x(1)求反比例函数的解析式； (2)
若一次函数y＝ax＋6(a≠0)的图象与反比例函数的图象只有
一个交点，求一次函数的解析式．
k2. (2017)如图，直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－
x3，a)和B两点． (1)求k的值；
(2)直线y＝m(m>0)与直线AB相交于点M，与反比例函数y＝的图象相交于点N.若MN＝4，求m的值．
kx
第2题图
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3. (2017二诊)如图，已知A(－4，n)，B(2，－4)是一次函数y＝kx＋b和反比例函数y＝的图象的两个交点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求△AOB的面积；
(3)观察图象，直接写出方程kx＋b－＝0的解．
mxmx
第3题图
4
4. (2017资阳模拟)如图，已知直线y＝kx与双曲线y＝(x>0)相交
x于点A(2，m)，将直线y＝kx向下平移2个单位长度后与y轴相交于点B，与双曲线交于点C，连接AB、AC.
第4题图
(1)求直线BC的函数表达式；
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(2)求△ABC的面积．
类型二 反比例函数与几何图形综合
5. 如图，已知，A(0，4)，B(－3，0)，C(2，0)，D为B点关于ACk的对称点，反比例函数y＝的图象经过D点．
x(1)证明四边形ABCD为菱形； (2)求此反比例函数的解析式；
k(3)已知在y＝的图象(x>0)上有一点N，y轴正半轴上有一点M，且
x四边形ABMN是平行四边形，求M点的坐标．
第5题图
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6. (2017)如图，在平面直角坐标系中，Rt△AOB的斜边OA在x轴的1
正半轴上，∠OBA＝90°，且tan∠AOB＝，OB＝25，反比例函数
2
ky＝的图象经过点B. x(1)求反比例函数的表达式；
(2)若△AMB与△AOB关于直线AB对称，一次函数y＝mx＋n的图象过点M、A，求一次函数的表达式．
第6题图
类型三 反比例函数与一次函数、几何图形综合
7. 如图，双曲线y＝(x>0)经过△OAB的顶点A和OB的中点C，AB∥x轴，点A的坐标为(4，6)，连接AC交x轴于D，连接BD. (1)确定k的值； (2)求直线AC的解析式；
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kx . . . .
(3)判断四边形OABD的形状，并说明理由； (4)求△OAC的面积．
第7题图
k8. (2017模拟)如图，直线y＝－x＋b与反比例函数y＝的图象相
x交于A(1，4)，B两点，延长AO交反比例函数图象于点C，连接OB. (1)求k和b的值；
(2)直接写出一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值围； 2
(3)在y轴上是否存在一点P，使S△PAC＝S△AOB？若存在，请求出点P5坐标；若不存在，请说明理由．
第8题图
答案
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1. 解：(1)将点A(3，1)代入反比例函数解析式中， 得1＝， ∴k＝3，
3
∴反比例函数的解析式为y＝；
k3x(2)对于一次函数y＝ax＋6(a≠0)， 3y＝x联立两解析式得，
y＝ax＋63
消去y得＝ax＋6，
x去分母得ax2＋6x－3＝0 ①，
∵一次函数与反比例函数图象只有一个交点， ∴①式中Δ＝62－4a×(－3)＝0， 解得a＝－3≠0，
∴一次函数解析式为y＝－3x＋6.
k2. 解：(1) ∵直线y＝2x＋4与反比例函数y＝的图象相交于A(－
x3，a)，
∴a＝2×(－3)＋4＝－2， ∴点A坐标为(－3，－2)，
k＝xy＝(－3)×(－2)＝6；
(2) ∵M在直线y＝2x＋4上，
. . . .
. . . .
m－4∴设M(，m)，
26∵N在反比例函数y＝上，
x6∴设N(，m)，
mm－466m－4
∴MN＝xM－xN＝－＝4或MN＝xN－xM＝－＝4，
2mm2
∵m＞0，
∴解得m＝6＋43或m＝2.
m3. 解：(1)∵点B(2，－4)在函数y＝的图象上，
x∴m＝－8，
8
∴反比例函数的解析式为y＝－；
x8
又∵点A(－4，n)在函数y＝－的图象上，
x∴n＝2， ∴A(－4，2)，
∵y＝kx＋b经过A(－4，2)，B(2，－4)两点，
－4k＋b＝2∴， 2k＋b＝－4k＝－1解得，
b＝－2
∴一次函数的解析式为y＝－x－2；
. . . .
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(2)如解图，设直线AB与x轴交于点C，
第3题解图
当y＝0时，x＝－2， ∴点C(－2，0)，即OC＝2，
11
∴S△AOB＝S△ACO＋S△BCO＝×2×2＋×2×4＝6；
22
m(3)方程kx＋b－＝0的解为x1＝－4，x2＝2.
x4
4. 解：(1)∵点A(2，m)在y＝的图象上，
x∴m＝2，A点坐标为(2，2)， ∵点A在y＝kx上， ∴k＝1，
∴直线BC的解析式为y＝x－2；
(2)如解图，过点A作AD∥y轴交BC于点D，
第4题解图
把x＝2代入y＝x－2中得，y＝0， ∴D(2，0)，
. . . .
. . . .
∴AD＝2，
∵点C为直线BC与反比例函数的交点， 4y＝x∴， y＝x－2解得x＝1±5， ∴C(1＋5，5－1)，
11
∴S△ABC＝S△ABD＋S△ACD＝×2×2＋×2×(1＋5－2)＝1＋5.
225. (1)证明：∵A(0，4)，B(－3，0)，C(2，0)， ∴OA＝4，OB＝3，OC＝2， ∴AB＝OA2＋OB2＝5，BC＝5， ∴AB＝BC，
∵D为B点关于AC的对称点， ∴AB＝AD，CB＝CD， ∴AB＝AD＝CD＝CB， ∴四边形ABCD为菱形； (2)解：∵四边形ABCD为菱形， ∴D点的坐标为(5，4)，
k∵反比例函数y＝的图象经过D点，
x∴4＝，
5∴k＝20，
k . . . .
. . . .
20
∴反比例函数的解析式为y＝；
x(3)解：∵四边形ABMN是平行四边形， ∴AN∥BM，AN＝BM， ∴AN是BM经过平移得到的， ∴首先BM向右平移了3个单位长度， ∴N点的横坐标为3， 代入y＝20x，得y＝20
3，
∴M点的纵坐标为208
3－4＝3，
∴M点的坐标为(0，8
3
)．
6. 解：(1)如解图，过点B作BD⊥OA，垂足为点∵tan∠AOB＝BD1
OD＝2
，
∴OD＝2BD＝2a，
∵∠ODB＝90°，OB＝25， ∴a2＋(2a)2＝(25)2， 解得a＝±2(－2舍去)， ∴a＝2， ∴BD＝2，OD＝4， ∴B(4，2)，
∵反比例函数y＝kx的图象经过点B，
. . . .
D，设BD＝a，
. . . .
∴k＝4×2＝8，
8
∴反比例函数表达式为y＝；
x
第6题解图
1
(2)∵tan∠AOB＝，
21
∴AB＝OB＝5，
2
∴OA＝OB2＋AB2＝（25）2＋（5）2＝5， ∴点A的坐标为(5，0)， 又∵OM＝2OB，B(4，2)， ∴M(8，4)，
把点M、A的坐标代入y＝mx＋n中得：
0＝5m＋n， 4＝8m＋n420解得m＝，n＝－，
33
420
∴一次函数的表达式为y＝x－.
33
k7. 解：(1)将A(4，6)代入解析式y＝得：k＝24；
x(2)∵AB∥x轴，B的纵坐标是6，C为OB中点，
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. . . .
24
∴把y＝3代入反比例函数解析式y＝得x＝8，即C点坐标为(8，
x3)，
设直线AC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，
将A(4，6)，C(8，3)代入得4k＋b＝6
8k＋b＝3，
3解得k＝－4
，
b＝9
∴直线AC的解析式为y＝－3
4x＋9；
(3)四边形OABD为平行四边形．理由如下： ∵点C的坐标为(8，3)，点A的坐标为(4，6)， ∴点B的坐标为(16，6)， ∴AB＝16－4＝12，
把y＝0代入y＝－3
4x＋9中得：x＝12，即D(12，∴OD＝12， ∴AB＝OD， 又∵AB∥OD，
∴四边形OABD为平行四边形； (4)S▱OABD＝12×6＝72，
根据平行四边形的性质可知，S1
△OAC＝4
S▱OABD＝18.
. . . .
0)，
. . . .
k8. 解：(1)将A(1，4)分别代入y＝－x＋b和y＝得：4＝－1＋b，
xk4＝， 1解得：b＝5，k＝4； (2)x>4或x<0<1；
y＝－x＋5
【解法提示】联立两解析式4，
y＝xx1＝1x2＝4
解得，，
y1＝4y2＝1
∴B点坐标为(4，1)，
∴一次函数值小于反比例函数值的自变量x的取值围为x＞4或0＜x＜1；
第8题解图
(3)存在．理由如下：
如解图，过点A作AN⊥x轴于点N，过点B作BM⊥x轴于点M， 由(2)知，B点坐标为(4，1)，
1115∴S△AOB＝S四边形ANMB＝(AN＋BM)×MN＝×(4＋1)×3＝，
222
. . . .
. . . .
2
∵S△PAC＝S△AOB，
5215
∴S△PAC＝×＝3，
52
如解图，过点A作AE⊥y轴于点E，过点C作CD⊥y轴于点D，设P(0，
t)，
1111
∴S△PAC＝OP·CD＋OP·AE＝OP·(CD＋AE)＝|t|×2＝|t|＝3，
2222解得：t＝3或－3， ∴P(0，3)或(0，－3)．
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