空间中的垂直关系
1．线面垂直
直线与平面垂直的判断定理：假如 ，那么这条直线垂直于这个平面。
推理模式：
直线和平面垂直的性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面
线
。
,那么这两条直
2．面面垂直
两个平面垂直的定义：订交成
的两个平面叫做相互垂直的平
面。
两平面垂直的判断定理： （线面垂直
面面垂直）
假如 ，那么这两个平面相互垂
直。
推理模式：
两平面垂直的性质定理： （面面垂直 线面垂直）
若两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们的 另一个平面。
的直线垂直于
一般来说，线线垂直或面面垂直都可转变为线面垂直来剖析解决，
为：线线垂直
判断 性质
其关系
线面垂直
判断 性质
面面垂直．这三者之间的关系特别亲密，
能够相互转变，以前面推出后边是判断定理，而从后边推出前面是性质定理．同 学们应该学会灵巧应用这些定理证明问题．在空间图形中，高一级的垂直关系中 包含着低一级的垂直关系，下边举例说明．
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线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
例题： 1．如图， AB 是圆 O 的直径， C 是圆周上一点， PA⊥平面 ABC．
（ 1）求证：平面 PAC⊥平面 PBC；
（ 2）若 D 也是圆周上一点，且与 C 分居直径 AB 的双侧，试写出图中全部相互垂直的各对平面．
2、如图，棱柱
ABCABC
1 11 的侧面 BCC1B1 是菱形， B1CA1B
证明：平面 AB1C 平面 A1 BC1
3、如下图，在长方体 ABCD A1B1C1D1 中， AB=AD=1，点
（Ⅰ）求异面直线 A1M 和 C1D1 所成的角的正切值；
（Ⅱ）证明：平面 ABM⊥平面 A1B1M 1
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AA1=2，M 是棱 CC1 的中
线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
4、如图， AB 是圆Ｏ的直径， Ｃ是圆周上一点， PA 平面 ABC．若 AE⊥ PC ，Ｅ为垂足， Ｆ是 PB 上随意一点，求证：平面 AEF⊥平面 PBC．
5、如图，直三棱柱 ABC— A1B1C1 中，AC ＝ BC ＝1，∠ACB ＝ 90°，AA1 ＝ 2 ， D 是 A1B1 中点．（ 1）求证 C1D ⊥平面 A1B ；（2）当点 F 在 BB1 上什么地点时，会使得 AB1 ⊥平面 C1DF 并证明你的结论
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线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
6、 S 是△ ABC所在平面外一点， SA⊥平面 ABC,平面 SAB⊥平面 SBC,求证 AB⊥BC.
B
7、在四棱锥中，底面 ABCD 是正方形，侧面
VAD 是正三角形，平面 VAD⊥底面
ABCD
证明 :AB⊥平面 VAD
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线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
V
D C
A
B
8、如图，平行四边形
ABCD 中，
起到 EBD 的地点，使平面 EDB
求证： AB
DE
9、如图，在四棱锥 P ABCD 中，平面E、 F 分别是 AP、 AD 的中点
求证：（ 1）直线 EF‖平面 PCD；（
DAB
60 ， AB
2, AD 4 ,将 CBD 沿 BD 折
平面 ABD .
PAD⊥平面 ABCD， AB=AD，∠ BAD=60°， 2）平面 BEF⊥平面 PAD
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线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
10、如图，在三棱锥 S 作 AF 求
ABC 中，平面 SAB 平面 SBC , AB BC, AS
AB.过A
SB，垂足为 F ,点 E, G 分别是棱 SA, SC 的中点。
证
：
（ 1
）
平 面
EFG PA
ABC
BC
SA P ABC
1
D, E,F
平面
PC, AC, AB
AC, PA 6, BC 8, DF
平面
5 求证：（ ）直线
PA//
DEF ;
（ ）平面 BDE
2
ABC
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线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
12、如图，在正方形 ABCD 中， AB 2, BC 1, E 是 CD 的中点， F 是 AE 的中
点。此刻沿 AE 将 ADE 向上折起，在折起的图形中解答以下问题：
（1）在线段 AB 上能否存在一点 K ，使得 BC // 平面 DFK 若存在，请正明你的结
论；若不存在，请说明原因。
（2）若平面 ADE
平面 ABCE ,求证：平面 BDE 13、如图，在四棱锥 P ABCD 中， AB AC, AB E, F ,G, M , N 分别是 PB, AB, BC,PD , PC 的中点。（1）求证： CE // 平面 PAD ；
（2）求证：平面 EFG 平面 EMN
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平面 ADE
PA, AB // CD , AB 2CD ,
线线垂直、线面垂直、面面垂直判断和性质
、如图，直四棱柱 ABCD
A 1B1C1 D1 中， AB // CD, AD
AA1
3，E为CD 上一点， DE
1, EC
3
1）证明： BE
平面 BB1CC1 ;
2）求点 B1 到平面 EA1C1 的距离。
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AB, AB
2 ,AD= 2 ，
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（
（
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