[精品]新人教A版高中数学选修1-1 3.3.2函数的极值与导数导学案

课前预习学案

一、预习目标

了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系，会利用导数求函数的极值 二、预习内容

已知函数 f(x)=2x36x27

(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？

三、提出疑惑

同学们，通过你的自主学习，你还有哪些疑惑，请把它填在下面的表格中

疑惑点 课内探究学案

一、学习目标

1.了解并掌握函数极值的定义以及导数与函数极值的关系 2.会利用导数求函数的极值

疑惑内容 学习重难点：导数与函数极值的关系。 二、学习过程 (一)知识回顾：

1、已知函数 f(x)=2x36x27

(1)求f(x)的单调区间,并画出其图象;

(2)函数f(x)在x=-1和x=1处的函数值与这两点附近的函数值有什么关系?导数为多少？

2、观察图像，哪些是极大值? 哪些是极大值点? 哪些是极小值? 哪些是极小值点?

f(x4)f(x1)

概念：什么是极大值? 什么是极大值点?什么是极小值? 什么是极小值点?什么是极值 极大值: 极大值点: 极小值: 极小值点：

极值：

思考与总结:1.极值是最大值或最小值吗？ 2.函数的极值是不是唯一的？

3.极大值一定比极小值大吗？举例说明.

4.点是极值点是在该 点的导数为0的什么条件？举例说明 5.判别f(x0)是极大、极小值的方法是怎样的？

6、函数的极值点能否出现在区间的内部,区间的端点能否成为极值点.而使函数取得最大值、最小值的点能在区间的内部,也可能在区间的端点吗.

（二）探究一、例1．（课本例4）求fxx34x4的极值 13探究二、例2求y=(x2－1)3+1的极值 探究三、例3 设f(x)ax3bx2cx，在x1和x1处有极值，且f(1)=－1,求a，b，c的值，并求出相应的值。 （三）反思总结

请同学们归纳利用导数求函数极值的步骤： (四)当堂检测 1、

已知函数fxx34x4，

13（1）求函数的的极值并画出函数的大致图像， （2）求函数在区间[-3，4]上的最大值和最小值。 2、 值.

课后练习与提高

求f（x）＝x3－3 x2－9 x ＋5在[－4，4]上的最大值和最小

1、下列说法正确的是( )

A.函数在闭区间上的极大值一定比极小值大 B.函数在闭区间上的最大值一定是极大值

C.对于f(x)=x3+px2+2x+1，若|p|＜6，则f(x)无极值 D.函数f(x)在区间(a，b)上一定存在最值

2、函数y=1 +3x－x3有( )

A.极小值－1，极大值1 B.极小值－2，极大值3 C.极小值－2，极大值2 D 极小值－1，极大值3

3求函数y=x3－27x的极值 说一说，这节课你学到了什么？

§3.3.2函数的极值与导数 一、教学目标

知识与技能：理解极大值、极小值的概念； 能够运用判别极大值、极小值的方法来求函数的极值； 掌握求可导函数的极值的步骤； 过程与方法：多让学生举命题的例子，培养他们的辨析能力；以及培养他们的分析问题和解决问题的能力；

情感、态度与价值观：通过学生的参与，激发学生学习数学的兴趣。

二、教学重点难点

教学重点：极大、极小值的概念和判别方法，以及求可导函数的极值的步骤.

教学难点：对极大、极小值概念的理解及求可导函数的极值的步骤. 三、教学过程：

函数的赠与减、增减的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的．通过研究函数的这些性质，我们可以对数量的变化规律有一个基本的了解．我们以导数为工具，对研究函数的增减及极值和最值带来很大方便． 四、学情分析

我们的学生属于平行分班，学生已有的知识和实验水平有差距。需要教师指导并借助动画给予直观的认识。 五、教学方法 发现式、启发式

新授课教学基本环节：预习检查、总结疑惑→情境导入、展示目标→合作探究、精讲点拨→反思总结、当堂检测→发导学案、布置预习 六、课前准备 1．学生的学习准备：

2．教师的教学准备：多媒体课件制作，课前预习学案，课内探究学案，课后延伸拓展学案。 七、课时安排：1课时 八、教学过程

(一)预习检查、总结疑惑

检查落实了学生的预习情况并了解了学生的疑惑，使教学具有了针对性。 提问

（二）情景导入、展示目标。

设计意图：步步导入，吸引学生的注意力，明确学习目标。 1、有关概念

(1).极大值： 一般地，设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)＜f(x0)，就说f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值=f(x0)，x0是极大值点 (2).极小值：一般地，设函数f(x)在x0附近有定义，如果对x0

附近的所有的点，都有f(x)＞f(x0).就说f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值=f(x0)，x0是极小值点 (3).极大值与极小值统称为极值 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值请注意以下几点：

（ⅰ）极值是一个局部概念由定义，极值只是某个点的函数值与它附近点的函数值比较是大或小；并不意味着它在函数的整个的定义域内最大或最小。

（ⅱ）函数的极值不是唯一的，即一个函数在某区间上或定义域内极大值或极小值可以不止一个 （ⅲ）极大值与极小值之间

无确定的大小关系。即一个函数的极大值未必大于极小值，如上图所示，x1是极大值点，x4是极小值点，而f(x4)>f(x1) （ⅳ）函数的极值点一定出现在区间的内部，区间的端点不能成为极值点而使函数取得最大值、最小值的点可能在区间的内部，也可能

在区间的端点 2. 判别f(x0)是极大、极小值的方法:

若x0满足f(x0)0，且在x0的两侧f(x)的导数异号，则x0是f(x)的极值点，f(x0)是极值，并且如果f(x)在x0两侧满足“左正右负”，则

x0是f(x)的极大值点，f(x0)是极大值；如果f(x)在x0两侧满足“左

负右正”，则x0是f(x)的极小值点，f(x0)是极小值 3. 求可导函数f(x)的极值的步骤: (1)确定函数的定义区间，求导数f′(x) (2)求方程f′(x)=0的驻点（一阶导数为0的x的值） (3)检查 f′(x)=0的驻点左右的符号；如果左正右负，那么f(x)在

这个驻点处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个驻点处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个驻点处无极值 （三）合作探究、精讲点拨。

例1．（课本例4）求fxx34x4的极值 13解： 因为fxx34x4，所以f'xx24(x2)(x2)。 令f'x0，得x2,x2 下面分两种情况讨论：

（1）当f'x>0,即x2，或x2时；（2）当f'x<0,即2x2时. 当x变化时， f'x，fx的变化情况如下表：

x 13,2 + ↗ (-2,—2 2) 0 极大值28 332 － ↘ 0 极小值4 32, + ↗ y y 因此，f极大值(x)=f(2)28； f极小值(x)=f(2)4。

3函数fx1x34x4的图像如图所示。

3例2求y=(x2－1)3+1的极值 解：y′=6x(x2－1)2=6x(x+1)2(x－1)2, 令y′=0解得x1=－1，x2=0，

x3=1 当x变化时，y′，y的变化情况如下表 x ,1 -1 (-10 (0,1 1, ,0) y 1) 0 极小+ ↗ 值0 值 0 无极↗ + － ↘ 0 无极－ ↘ y 值 ∴当x=0时，y有极小值且y极小值=0

例3 设f(x)ax3bx2cx，在x1和x1处有极值，且f(1)=－1,求a，b，

c的值，并求出相应的值。

解：f'(x)3ax22bxc，∵x1是函数的极值点，则－1,1是方程f'(x)02b113a⇒的根，即有1c3ab0c3a，又f(1)1，则有abc1，由上述

三个方程可知a1，b0，c3，此时，函数的表达式为f(x)1x33x，

2222∴f'(x)3x23，令f'(x)0，得x1，当x变化时，f'(x)，f(x)的变化

22情况表：

x ,1 -1 + 0 极大↗ 值1 (-11 ,1) － 0 极小1, + y y ↘ 值 －1 ↗ 由上表可知， f极大值(1)131，f极大值(1)131

2222（学生上黑板解答） 多媒体展示探究思考题。

在学生分组实验的过程中教师巡回观察指导。 (课堂实录) （四）反思总结，当堂检测。

教师组织学生反思总结本节课的主要内容，并进行当堂检测。 设计意图：引导学生构建知识网络并对所学内容进行简单的反馈纠正。（课堂实录）

（五）发导学案、布置预习。

设计意图：布置下节课的预习作业，并对本节课巩固提高。教师课后及时批阅本节的延伸拓展训练。 九、板书设计

极大值: 极大值点: 极小值: 极小值点： 极值： 十、教学反思

本课的设计采用了课前下发预习学案，学生预习本节内容，找出自己迷惑的地方。课堂上师生主要解决重点、难点、疑点、考点、探究点以及学生学习过程中易忘、易混点等，最后进行当堂检测，课后进行延伸拓展，以达到提高课堂效率的目的。

在后面的教学过程中会继续研究本节课，争取设计的更科学，更有利于学生的学习，也希望大家提出宝贵意见，共同完善，共同进步!

十一、学案设计(见下页)