Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究

鞍山科技大学学报

JournalofAnshanUniversityofScienceandTechnology

Vol.28No.1Feb.,2005

Fourier变换和Gabor变换与小波变换的

比较研究

贾朱植1,董立文2,董　勃3,谢元旦2

(1.鞍山科技大学高等职业技术学院,辽宁鞍山　114044;2.鞍山科技大学计算机科学与工程学院,

辽宁鞍山　114044;3.鞍钢新轧钢股份有股公司,辽宁鞍山　114042)

摘　要:对Fourier变换、Gabor变换和小波变换进行比较。从Fourier变换的定义出发,进行分析阐述,指出

了Fourier变换不具有局部化分析的功能以及时频完全分离的缺点;通过对Gabor变换的核函数进行时频两域分析,说明了它品质因数是不恒定的以及它的一些缺陷;最后对小波变换的核函数进行分析,论述了小波变换具有品质因数恒定和多分辨率分析等优点。

关键词:Fourier变换;Gabor变换;小波变换

中图分类号:O174122;O17716　文献标识码:A　文章编号:167224410(2005)0120012205

　　Fourier分析方法(Fourier,1807)提供了一种把时域信号转换到频域进行分析的途径,但它只考虑时域和频域之间的一对一映射关系,是一种时频完全分离的分析方法[1]。这种方法用于分析平稳信号,在分析非平稳信号时就有些力不从心了。　　针对Fourier变换不能局部化分析,Gabor于1946年引入了Gabor变换,又称短时Fourier变换(ShorttimeFouriertranform);它在一定程度上解决了Fourier变换的时频分离的不足。但是,Gabor变换在待分析信号上加一个窗口函数,改变了原信号的性质,并且它本身仍然存在一些缺陷难以克服。　　小波变换(Wavelettransform)理论是继Fourier分析之后的一个突破性进展[2],它给许多相关领域提供了一种强有力的分析工具。小波变换是一个时间和频率的局域变换,利用联合的时间2尺度函数分析非平稳信号,能有效地从信号中提取信息,通过伸缩和平移等运算功能对函数或信号进行多分辨率细化分析,从根本上克服了Fourier分析只能以单个变量描述信号的缺陷。

1　Fourier变换

　　Fourier变换把信号分析的时域与频域联系起来,但同时又把它们割裂开来。如果一个信号f(t)

)上满足[3]:(1)f(t)在任一有限区间上满足狄氏条件;(2)f(t)在(-∞,+∞)上绝对在(-∞,+∞可积,即

∫

+∞-∞

|f(t)|dt<∞,就可以通过Fourier变换F(ω)=

∫

jωt

+∞-∞

-jωt

f(t)edt把时域信号f(t)转换

到频域进行处理,然后再通过Fourier反变换f(t)=

1π2

∫+∞-∞

F(ω)edω把频域信号转换回时域。很多在

时域难以解决的问题,转换到频域便可以得到很好的解决,大大提高了信号处理的质量。

　　Fourier变换将信号的时域特征和频域特征联系起来,能分别从信号的时域和频域进行分析,但却不能把二者有机地结合起来,这是因为信号的时域波形中不包含任何频域信息而频域波形中又不包含任何时域信息。从Fourier变换的定义式也可以看出,Fourier变换是信号在整个时域内的积分,因此Fourier频谱只是信号频率的统计特性,没有局部化分析信号的功能,即Fourier变换是时域与频域完全

收稿日期:2004210214。

作者简介:贾朱植(1978-),女,辽宁鞍山人,助理工程师。

第1期　　　　　贾朱植,等:Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究

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分离的,对于Fourier谱中的某一频率,无法知道这个频率是在什么时候产生的[2]。Fourier变换适合处理长时间内比较稳定的信号[4],而在实际的信号处理中,尤其是对非平稳信号(如语音信号、探地信号等)的处理中,这些信号的频域特性随时间变化[5],所以信号在任一时刻附近的频域特征都很重要,这种情况下时频两域便不能完全分离。这样,Fourier变换在时域和频域局部化的问题上就显现出了它的局限性。这就促使人们去寻找一种新的分析方法,能将信号的时域和频域结合来构成信号的时频谱,也就是所谓的时频分析法。

2　Gabor变换

　　Gabor变换的基本思想是:把信号划分成许多小的时间间隔,用Fourier变换分析每一个时间间隔,

)(τ是以便确定信号在该时间间隔存在的频率[2]。其处理方法是对信号f(t)施加一个滑动窗w(t-τ移位因子,反映滑动窗的位置)后,再作Fourier变换,即[5]

)=SFf(ω,τ

∫

)e-jωtdtf(t)w(t-τ

(1)

Gabor变换虽然在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部分析能力的问题,但它自身存在着不可克

服的缺陷。

)ejωt的内积,即　　公式(1)也可以看成是f(t)和g(t)=w(t-τ

)=SFf(ω,τ

∫

)e-jωtdt==f(t)w(t-τ

-t/T2(2)

假设w(t)是高斯型函数,当τ=0时,w(t)=e2

,当频率ω=ω0时,g(t)=

ω

e-t/Tej0t

2

,其Fourier

(ωω)ω=ω-ω0=4/T,品质因数Q1变换是G(ω)=π/Te-T-0/4,G(ω)的中心频率是ω0,带宽Δ

2ω0ω0-t/Tj2ω0t

ω、=T;当ω=2ω0时,g(t)=ee,其Fourier变换G(ω)的中心频率、品质带宽ΔΔω=2

ω因数Q2=ωT,如表1所示。当ω从ω0变成2ω0时,G(ω)的中心频率也从ω0变成2ω0,但带宽Δ

没有变,因此它的品质因数Q是变化的。滤波器的品质因数Q影响滤波器本身的幅频特性,Q值不同则

滤波器的幅频特性不同,如果滤波器自身的特性是变化的,那么便无法使用这个滤波器来分析信号的特性。Gabor变换的Q值随ω变化而变化,所以Gabor变换所得结果不能准确地反映信号的特性。

表1　频率变化时G(ω)参数的变化

Tab.1　ChangeofG(ω)parameterwiththechangeoffrequency

频率ωω0

2ω0

g(t)=w(t)ej

ωt

)G(ω)中心频率G(ω

20

ω带宽Δ

4/T4/T

品质因数Qω0ω0

T/2T

e-e-

t/Tjωt

2

e

0

π/Te-π/Te-

T(ω-ω)/4T(ω-2ω)/4

ω0

2ω0

t/Tj2ωt

2

e

2

00

　　Gabor变换的不足之处还在于,G(ω)的带宽保持不变,一旦窗口函数选定后,时频窗口的形状便

ω平面保持不变,割断了频率与窗口宽度的内在联系[4],Gabor变换实质是具有单一分辨率的分析,在τ2

的不同位置处分析单元的形状保持不变,既不具有分析频率降低时视野自动放宽的特点,也不具有频率

2

特性品质因数恒定的特点[6]。而且可以证明,无论ω和τ如何离散化,g′ω,τ(t)都不能形成L(R)上的正交基。因此,为了不丢失信息,在信号分析或数值计算时必须采用非正交的冗余基,这就增加了不必要的计算量和存储量[5]。

)进行　　另外,Gabor变换是对原信号f(t)施加一个窗口函数w(t-ω),相当于对f(t)w(t-τ

)与原信号f(t)的Fourier变换频谱一定不同,Gabor变换所得信号Fourier变换,所以f(t)w(t-τ

)相对于Fourier变换所得结果F(ω)是有误差的,它在一定程度上受到窗口函数的影响。STf(ω,τ例

)上的余弦信号x1(t)=cosω0t,它的Fourier变换是F[x1(t)]=X1(ω)如,一个定义域在(-∞,+∞

=ω[δ(ω+ω0)+δ(ω-ω0)],再定义一个定义域在(-τ/2,+τ/2)上的余弦信号x2(t)=cos

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ω0t[u(t+τ/2)-u(t-τ/2)],这也相当于在余弦信号x1(t)=cosω0t上加一个长度为τ的矩形窗口,

但信号

x2(t)

的Fourier

,

变换已经变成其

中

Sa

F[x2(t)]

=

=

X2(ω)

=

(ω+ω0)τ(ω-ω0)ττSa+Sa222

(ω+ω0)τsin(ω+ω0)

2

τ2τ,

(ω+ω0)

2

τ(ω-ω0)τ2Sa=很明显,这两个信号的Fourier变换有所不同。由此可见,当定义τ。2(ω-ω0)

2

τ为有限时,余弦信号的频谱由原来的在-ω0和ω0处的两条直接扩展到整个ω轴,而且Δτ域的长度Δ

sin(ω-ω0)

越小越严重。因为此时信号频谱中不仅包含余弦信号,而且还包含一个矩形信号。由此可见,对原信号

),必然会导致原信号f(t)的Fourier频谱失真,这也就是Gabor变换的f(t)施加一个窗口函数w(t-τ

内在缺陷。如图1所示。

图1　余弦函数和加窗余弦函数的Fourier频谱对比

Fig.1　Comparsionoftwofrequencythartsoffunctionofcosineandshort2timeconsine

3　小波变换

　　小波变换于1984年由法国地质物理学家JMorlet最先提出;它是继Fourier分析之后纯粹数学和应用数学完美结合的又一光辉典范[7];它自产生以来就与Fourier分析密切相关,但却克服了Fourier变换和Gabor变换都难以克服的很多困难。小波变换继承和发展了Gabor变换的局部化思想,同时又克服了Gabor变换不恒Q、缺乏离散正交基等缺点,特别是在分析一个非平稳信号时,信号波形变化剧烈时,主频率是高频,就要有较高的时间分辨率,要求窗口在时间轴上要窄一些,而波形变化比较平缓的时

第1期　　　　　贾朱植,等:Fourier变换和Gabor变换与小波变换的比较研究

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刻,主频率是低频,则要有较高的频率分辨率,要求窗口在频率轴上要窄一些[6],而Fourier变换和Ga2bor变换都无法做到这样的多分辨率分析。

　　设x(t)∈L2(R),Ψ(t)是被称为基本小波或母小波的函数,则

1t-τ3

)=WTx(a,τx(t)Ψdt=

a∫a

(3)

Ψa称为x(t)的小波变换。其中a>0是尺度因子,τ反映位移,其值可正可负。τ=

1a

τΨt-是基本

a

小波位移与尺度伸缩[6]。尺度因子a的作用是将基本小波Ψ(t)作伸缩,a越大Ψ(t/a)越宽,也就是,在不同尺度下小波的持续时间(即分析时段)随a增大而增宽。可以证明,小波变换的等效频域表示为

)=WTx(a,τ

aπ2

∫2

τ3

ω)ejωX(ω)Ψ(adω

(4)

由此可见,如果Ψ(ω)是幅频特性比较集中的带通函数,则小波变换便具有表征待分析信号X(ω)频域上局部性质的能力

[6]

。例如,Morlet小波Ψ(t)=

ω

e-t/Tej0t

的频谱Ψ(ω)=π/Te

-T(ω-ω0)/4

2

是中心频

率在ω0的高斯函数,只要改变ω0就可以表征X(ω)在ω0附近的局部性质。以表2中a=1和a=2

ω)的中心频率和带宽都不一样,品质因数却不变。两种情况为例,采用不同a值作处理时,各个Ψ(a当

a值较大时,时轴上观察范围大,而在频域上相当于用低频小波作概貌观察;当a值较小时,时轴上观察

范围小,而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析,即用高频小波作细致观察,因此,小波变换可以达到多分辨率分析的效果。虽然分析频率有高有低,但在各个分析频段内分析的品质因数Q却保持不变,所以它能准确反映待分析信号的幅频特性。这是小波变换相对于Gabor变换的最大的优点,且是一个很符合实际工作需要的特点,因为如果希望在时域上观察得越细致,就越要压缩观察范围,并提高分析频率。1989年法国学者SMallat从函数空间剖分的角度把多分辨率分析的方法引入小波变换,统一了前人提出的关于小波变换的构造,信号的小波变换分解与重建,并提出了SMallat快速分解和重建算法[8],把小波变换理论引入工程应用,特别是信号处理领域,这对小波变换的发展起着及其重要的作用[6]。

表2　频率变化时Ψ(t)参数的变化

Tab.2　ChangeofΨ(t)parameterwithchangeoffrequeny

a

Ψ(t/a)

e-e-t/Tjωt

Ψ(aω)π/Te-π/Te-T(ω-ω)/4

中心频率

20

ω带宽Δ

4/T1/T

品质因数Qω0ω0

T/2T/2

12

2

e

0

ω0ω0/2

(t/2)/Tjωt/2

2

e

0

T(ω-ω/2)/4

2

0

　　Fourier变换的核函数是单一的,即ejωt,而小波变换的核函数却不具唯一性,小波函数Ψ(t)具有多样性。小波变换在工作应用中的一个十分重要的问题就是最优小波基的选取。用不同的小波基分析同一个问题会产生不同的结果。到目前为止,还没有很好的方法或统一的标准来解决这个问题,主要应用的方法是通过用小波分析方法处理信号的结果与理论结果的误差来判断一个小波基是否适用于某个问题。这也是值得继续深入研究的一个问题[6]。

　　目前,在工程中常用的小波有Morlet小波、Marr小波、DOG(Differenceofgaussian)小波、Haar小波、样条小波和Daubechies小波等[6]。

　　1992年,法国学者IDaubechies系统论述了正交小波的紧支性、正则性、对称性及时频特性,介绍了离散和连续小波变换等[9]。至此,经典小波理论已基本成熟,之后,对小波的研究重点转向了小波的推广和应用[1]。目前,小波应用的研究工作主要集中在几个方面:在数学其他分支中的应用,如小波在分形中的应用[10,11];在信号处理、图像处理中的应用,如在水印技术[12]、图像分割等中的应用[13,15];在通信中的应用,如在信号调制[14]等方面的应用。

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4　结　语

　　由以上对Fourier变换、Gabor变换和小波变换的讨论,可以得出以下结论:

　　Fourier变换是信号在整个时域内的积分;Fourier频谱只是信号频率的统计特性,没有局部化分析信号的功能;它虽然能将信号的时域和频域特征联系起来,但却不能将它们有机地结合起来对信号进行分析。这样的方法只适合处理平稳信号,无法处理非平稳信号。

　　Gabor变换在一定程度上克服了Fourier变换不具有局部化分析能力的问题,但也存在着一些缺陷:Gabor变换的时频窗口的形状一旦选定就是不可改变的,即不能根据待分析信号频率的变化而改变分辨率;Gabor变换的品质因数Q是随ω变化而变化的,所以它不能准确反映信号的特性;Gabor变换所

2

得结果受窗口函数的影响,有一定的失真;无论ω和τ如何离散化,g′ω,τ(t)都不能形成L(R)上的正交基。　　小波变换不但具有时频两域局部化分析的能力,而且品质因数都恒定不变。小波变换能作多分辨率分析。当a值较小时,时轴上观察范围小,而在频域上相当于用较高频率作分辨率较高的分析,即用高频小波作细致观察;当a值较大时,时轴上观察范围大,而在频域上相当于用较低频小波作概貌观察,很符合实际工作的需要。另外,小波变换的核函数不具唯一性,所以小波变换在工程应用中最值得关注的一个问题就是最优小波基的选取,这也是小波变换如何恰当地应用于各种具体问题的一个重点和难点,值得进一步研究。　　小波变换是Fourier变换的新发展,而Fourier变换是小波变换的发展基础。小波变换的思想来源于Fourier变换;它的存在性证明以及小波基的构造都依赖于Fourier变换,因此,小波分析是很难离开Fourier分析而独立存在的。虽然小波分析存在着各种优势,但Fourier分析仍然是无可替代的。小波分析与Fourier分析不是互相排斥,而是相辅相成、互相补充的;它们的巧妙结合将使纯粹数学与应用数学得到更快的发展,并为工程领域提供更新的、更强有力的数学分析工具。参考文献:

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[下转第21页]

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Twointegralinequalitieswithaparameter

SHIYan2xia,LIUZheng

(FacultyofScience,AnshanUniversityofScienceandTechnology,Anshan114044,China)

Abstract:Twointegralinequalitieswithaparameterwhoseestimationoferrorsisbestweregivenundercer2tainconditions.Thusanunifiedtreatmentofthreefundamentalinequalitiesinmidpoint2rectangularrule,trapezoidalruleandparabolicruleforcalculatingdefiniteintegralsapproximatelywasprovided.

Keywords:midpointinequality;trapezoidinequality;Simpsoninequality;simplethreepointinequality;esti2mateoferror

(ReceivedDecember25,2004)

[上接第16页][14]孟虎,邓云凯.时频分析在线性调频信号相位误差估计中的应用[J].测试技术学报,2004,18(1):74-77.[15]陈武凡,杨丰,江贵平,等.小波分析及其在图像处理中的应用[M].北京:科学出版社,2002:1.

ComparsionstudyofFouriertransform,Gabortransform

andwavelettransform

JIAZhu2zhi1,DONGLi2wen2,DONGBo3,XIEYuan2dan2

(1.HigherVocationalTechnicalInstitute,AnshanUniversityofScienceandTechnology,Anshan114044,China;2.SchoolofComputerScienceandEngineering,AnshanUniversityofScienceandTechnology,Anshan114044,China;

3.RodMillAngangNewSteelCoLtd,Anshan114042,China)

Abstract:Fouriertransform,Gabortransformandwavelettransformwerecompared.FromthedefinitionofFouriertransformaconclusioncanbereachedthatithasthedisadvantagesofcompleteseparationoftimeandfrequencyandthedisabilityoflocalanalysis.TheinconstancyofthequalityfactorofGabortransformanditslimitationswereeducedbythetime2frequencyfieldsanalysisofitsnuclearfunction.Onthecontrary,wavelettransformhastheadvantagesofmulti2resolutionanalysisandtheconstancyofitsqualityfactor.Keywords:Fouriertransform;Gabortransform;wavelettransform

(ReceivedOctober14,2004)