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空间解析几何数学教程竞赛辅导 doc

||方法:2113用向量法求得一个面的方程5261和该平面面积,再求出高,4102最后体积就出来了AB=(0,0,1) AC=(-2,-2,1) 法向量n=ABXAC=(2,2,0)平面ABC方程为16532x+2y=0又cos<AB,AC>=AB*AC/(|回AC||AB|)=1/(sqr1*sqr5) sin<AB,AC>=2/sqr5三角形ABC面积=1/2*|AB|*|AC|*sin<AB,AC>=1点D到平答面ABC距离为10/2=5四面体体积V=1/3*S*H=1/3*1*5=5/3www.book6789.com防采集请勿采集本网。

空间解析几何数学竞赛辅导

已知平面的法向量(1,2,-2)就是其垂线的方向向量。设投影点坐标是(k+1,2k+1,-2k+2) 它在已知平面上得 (k+1)+2(2k+1)-2(-2k+2)-8=0 解得 k=1 所以投影点坐标是(2,3,0)

一. 向量代数

11 直线方向数 {3,1,-2},平面法向量 {1,-2,-3} sint=[3*1+1*(-2)+(-2)(-3)]/[√(3^2+1+2^2)√(1+2^2+3^2)] 1/2,t=π/6 14.直线即(x-7)/(-2)=(y+1)/0=z/1 过点 M(7,-1,0),方向数 n={-2,0,1} 已知点 P(0,-

1、已知空间中任意两点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png和e40020cc7e7b8cbe917431c5aa84ac4b.png,则向量

对于直线。法线是它的垂线,对于一般的平面曲线;法线就是切线的垂线;对于空间图形,就要变成法平面了。法线斜率与切线斜率乘积为-1,即若法线斜率和切线斜率分别用α、β表示,则必有α*β=-1

f82524711bf50b90baa8f0b3ec302fa2.png

这个,应该是高中数学,不是高等数学。作为一个大学毕业生的我,当然,当然不会。其实我高中数学学的不错,可惜都忘了。现在你让我做可能不会,我可以告诉你思路。第一步,把两个向量式转化成

2、已知向量445a90be42350e6f670660e6c1e69890.png、d5a513a4dee85d13444ba7e18d27f311.png,则

设(x-2)/4=(y-1)/2=z/(-1)=t,则直线的参数方程可以写为 x=4t+2,y=2t+1,z=-t(1) 因为直线绕y轴旋转,所以旋转后曲面的参数方程可以写为 x=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]*cosu,y=2t+1,z=根号[(4t+2)^2+(-t)^2]

(1)向量e8c34922493d9854b9f37ac5f3707bce.png的模为829369af15e7c2daea481760bcffc9cb.png

(2)23061d18a76318f2941356a35ffda7b6.png

(3)a34cb460439b59018221f243506a029b.png

3、向量的内积31a7766002eab8978b74d278f1bfdb7f.png

(1)d53c561c1d55dff1e0da9951d9947d5c.png

(2)1a34b0ef067be64b28caa44cfd48f105.png

其中f3c505d33dcf55790a587fa025177c18.png为向量bcba550acff9f7dcf59e89b14f7402d2.png的夹角,且e849136a604f2a8be782014c837a6d3d.png

注意:利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积c9fe35a994b9d6ef0deec99ad4e99ef8.png(遵循右手原则,且8ae5ad3bd2c65e842083a6a6be186dc9.png、8ae5ad3bd2c65e842083a6a6be186dc9.png)

46b401d54f5163bbcc9c5f7d448e71d9.png

(1)9ec2fb56ca1e84038192a22fd142feeb.png

(2)3f886c0fcca8050fe31ffd7689947eb3.png

(3)几何意义: 1567163b51c8f535eaf5bc30a735a134.png代表以078d08e40b7200545f2475d64885e634.png为邻边的平行四边形的面积fb3de807a65c1b9a0ddb4a3fc811e516.png;

平面上三点999779c534cc87ee6218a4d02f96bd78.png,62f743269e886ec9bbf77b3a50cf1430.png,af7ced8a16455c41cfad6848b0c81205.png构成的三角形的面积为

42012c3ae80dfbcb9852e515b4c7f080.png

e3509f8f573627a9af52342ede318073.png的绝对值

也可以写成223b1c41b0cc4901d0dd294db0d5419d.png的绝对值。

5. 混合积:6641b6483798eb115909b796228eb8fd.png。

(1)注意:2a9430282af2332cd79e66810fca29a5.png

(2)坐标表示:e1f5b08ddde576c1032094cfbe3be6a7.png, 其中,

0081cf4996691dab6ce1d38609ef6967.png,638f642bff5479bf5b00785155e4610b.png, e454288ec049b6cdeaf2f67f789617f9.png。

(3)几何意义:40ced3233c2a3ec38451e48ef77aa517.png的绝对值表示以41def62ddeb6f7baae447c80991dc01d.png为三条邻边的平行六面体的体积。

41def62ddeb6f7baae447c80991dc01d.png共面的充要条件是67d14e9af2a3841690748b4a18ddf58f.png。

空间不共面的四点170ed200a6b8dfa7a47a11aad0ae693f.png,888349c935467129489e04356e1c6536.png,691381a937495af6a17a9ef210b2635a.png,

65ada3e50ff4d22c052be73755a36d27.png构成的四面体的体积为

1c3f9c7368b3099389aa5db24962988f.png的绝对值。

(它实际是以ea54aa169be520f635122b4ffc4fa1e9.png为邻边的平行六面体的体积的六分之一)

例1 设径矢6a2d5d289df7e14b095eff3dbf6f0b52.png, cc527ec227f850779a5c2ce53bde2581.png, 36a002c9019c691f809a683c22ce88f4.png, 证明

7b6762464584504456d1cf2ee353acd1.png垂直于ABC平面.

证明 :由于 92c39f3d288c022cb15a6350d07c3729.png=0f3a6d7a4530541ae43c1859242b58ff.png[671a0b5d2aa042578492d91ea3f6fdd8.png]

=0e5297070df6367f916b0499772ba753.png

=9dd36d836271a1b0367a4247229d0de1.png,

所以 9aca850b24d4b4ad71f445cb702eb39d.png.同理可证 940b7a0949518dabfd34fc3eb8869681.png.所以 f94afa5b3e720a78d1963af20343d143.png平面ABC.

例2.设P是球内一定点,A,B,C是球面上三个动点.

. 以PA,PB,PC为棱作平行六面体,

记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.(见北京大学2007考研题)

二.直线与平面方程

(一)、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png,且法向量为6de5015385e1d2ec68cbe72b54583eb1.png,则平面方程为

f49cf2b551fe4e5b65120f90ac607996.png

注意:法向量为6de5015385e1d2ec68cbe72b54583eb1.png垂直于平面

2、平面的一般方程d2977253b5d7e48b291a02ab545fb8a3.png,其中法向量为6de5015385e1d2ec68cbe72b54583eb1.png

3、求平面方程的主要方法

(1)过直线ab758adb2cdc08f4e1c067db539eee85.png的平面方程可设为

1c53c45099b4c22288c9f4110892add9.png

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理

例(1)在过直线7e906b738182e351cc02630a11c9010f.png的平面中找出一个平面,使原点到它的距离最长。

(2)平面过85454f106a1146a23a110ce72c032c45.png轴,且与平面b64539ba9d3932913a3df12f2a4760e1.png的夹角为73744cf2a335ccced85199a576dad196.png,求该平面方程

(两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角)

(3)求过点98e8fb72754e4bd5fddc6e4a0b111cf4.png和直线72a48cfcd28fc64463f6227624b2dcbb.png的平面方程

(4)过直线c7fad5becadd69bffc5d4325b91790b6.png作平面,使它平行于直线49e6d2e0f217014a82be0397888f754a.png

(5)过平面3c870fb532f6e4aec30a35308a34b389.png和16c9feedc989d8edfb4984362ff1fb66.png的交线作切于球面daf51bc6bce223203c267dbfad305f58.png的平面

(6)求由平面aa2d8af7f8b38da2053ddd8bb04999c2.png所构成的两面角的平分面方程

(2)利用点法式求平面方程

注意:(i)任何垂直于平面的向量68692f4c064fa9a840c741f325410eb3.png均可作为平面的法向量

(ii)和平面d2977253b5d7e48b291a02ab545fb8a3.png平行的平面可设为e98a6ae4aefe070cc427d6e638d4f19b.png

(iii)如存在两个向量445a90be42350e6f670660e6c1e69890.png、d5a513a4dee85d13444ba7e18d27f311.png和平面平行(或在平面内),则平面的法向量为7fa163d77b3e37eba2e9b598d4929f1d.png

例1(1)已知两直线为d80114d4718e5ba849d08278dec97948.png,91d353c9e7016e672c4e59b52ccfd111.png,求过两直线的平面方程

(2)求过ee982f4fe7c29ed6eed8c6033f538cc6.png和1f2dfd0c48d1c51a3ae0f45b61e7bc1b.png两点,且垂直于平面4af42e24cc91e635ac0581d6dd789470.png的平面

(3)一平面垂直于向量062217b4e69cd832c1d3a9641d0eada3.png且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程

(4)已知球面bbea6977ca8c16aeb35088c0298f5f82.png与一通过球心且与直线9b028abfbfb996b1ae0b0bfd8c9dd8b7.png垂直的平面相交,求它们的交线在5b26bfdd93caf0c383de7f512d198cb5.png面上的投影

例2.已知椭球面

5b7ca30235a49b613b5f4d922bfc6219.png 5885fc960e2ec5a0c28b84229712f9ad.png,

试求过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解 平面过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴,从而过原点,得23ded4c3f6dae981aea9b1ad7949f3e3.png。设法向量6bb167f047af1de8fa569513c80a356a.png,由平面过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴得6bb167f047af1de8fa569513c80a356a.png与3cc83337d0197144d9faf4300a8481aa.png垂直,得357e564112c8be448ad371ce602b0658.png,平面方程:eef888682a365abd2f426e7cd3d475ed.png。又fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png与8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png都不符合题意,所以c1fed22ef2207edd0aa439641f0d7296.png。不妨令dd595428d6f5707c6f1124078adc1728.png,它与椭球面的交线为

c24205e13f41393734fceb278dd7e05b.png (1)

由于交线圆的圆心在原点,且该圆过点4a7c83b2739220e7811b512634e59290.png,故该圆的方程也可表示为

20da081de7829f861b94b1eb1668bb54.png (2)

比较(1)和(2)得 2967d183548cec5676e0170c275fe1e7.png,

所求平面方程为:7cfa8d95cca78d0329799d1888f7443f.png。

(3)轨迹法求方程

方法:(i)设平面上任一一点61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png(ii)列出含有78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png的方程化简的平面方程

例 求由平面b92f1854e40084d0156b958998b6905b.png和b7c3e0ad0480e6ec20cc03d51884bd7c.png所构成的二面角的平分面的方程

(二)、直线

1、直线的对称式方程

过点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png且方向向量为bfc26ccdb5e6a77c92a539fbc707981a.png直线方程f4c65e08cb8f5aee798f352003d8a311.png

注意:方向向量bfc26ccdb5e6a77c92a539fbc707981a.png和直线平行

2、直线的一般方程ab758adb2cdc08f4e1c067db539eee85.png,注意该直线为平面2bee49ad8e40e439b03b791dff39d113.png和faf35f3d39109479cc590bf5b1ac6d19.png的交线

3、直线的参数方程f516105cef5bdcbdc6a3d0f257391b5f.png

4、求直线方程的主要方法

(1)把直线的一般方程化为点向式方程

方法:已知直线方程为ab758adb2cdc08f4e1c067db539eee85.png,则该直线的方向向量为

7ed4a938a4ee28ec231feae43894b877.png

在直线上任取一点c0c59d28f1d65fd5d5a11f47aae30eab.png,则直线方程为f4c65e08cb8f5aee798f352003d8a311.png

例化直线的一般方程3bd69f54355674d0e87c9982bd7af926.png为标准方程

(2)根据直线的方向向量求直线方程

例(1)过点3b43b20aeb9f8a0c88573924d9a5630b.png,且平行于两相交平面b92f1854e40084d0156b958998b6905b.png和b7c3e0ad0480e6ec20cc03d51884bd7c.png的直线方程

(2求过点8611505868db64837aad627fd4768bf9.png,且与直线54eb217072984b180bc083c9fd7fb3e2.png平行的直线方程

(3)求过点00f78b0b6bd195a552308356c9d9d0d4.png,且与平面43fa43187f6a0d23a52ea0ad30523364.png平行,又与直线70eddafb9c54cbb3860f8483dbe88d01.png垂直的直线方程

注意:一直线和两直线垂直;一直线和两平面平行;一直线和一平面平行,和另一直线垂直均可确定直线的方向向量

(3)利用直线和直线的位置关系求直线方程

注意:(1)两直线平行,则d7fdae2844753b7d504b7d45b319cf6e.png,其中61bb9d459cc5ca897cfc3b023abc1862.png和def2b4af0c349f719980249c4fc42243.png为直线的方向向量

(2)两直线73102c0cc18891770ee9bdf465d2eb94.png和1024cd99143b5e7edb4c4c40b820440c.png相交,则

82391a819e51765462832412146a079f.png且9d324eaf8201ce19e1fc958c2e1a5f4e.png

(3)两直线73102c0cc18891770ee9bdf465d2eb94.png和1024cd99143b5e7edb4c4c40b820440c.png异面,其中公垂线的方向向量为001e5cfc5331de438fd76958d921539c.png,则两异面直线的距离为fbadc911197cf197eefaed325fbc34da.png;公垂线方程为53a8488cc31732bd9a82214943a69fd1.png

例(1)求通过点eb57c9958e3ee72df260654c8ccfaf5c.png且与两直线bcd95ea18c847636d78ad32ead8ef428.png和88e2583ef20045d54583bfa7a1b1ba9f.png都相交的直线方程

解:设所求直线的方向向量为61387437566c024c911e4099fb69c76a.png,已知两直线的方向向量为18cd8c1a1d249d49958a25cdbe7c602b.png、25c36604412d9dae8f8d442b0a39a45c.png,且分别过点222f56d59007c5df534bb2ae1192e98f.png、18cd8c1a1d249d49958a25cdbe7c602b.png

则9ab9b8c6fa2986c20d506dd724e74902.png,即8a229db9a76349916a7f7fd0c97f95e6.png;80793ceb52854561805f6d2c712458c8.png,即714261c4369e2ab919a97c8c6abd667c.png

故8ca784774f5cf65d31583e8758d0e949.png,故de1e7a4070fade56bc5268e903e3d65a.png

所求直线为dac329577f9f384a9f9f7415d47e214f.png

(2)已知两异面直线9c4c89909018e546de31b6ebbfff4cdb.png和f55949047fa6f75e2472ab7c80542591.png,求它们的距离与公垂线方程

(3)求与直线7a41ff37176de807ad34f1ca96aed11f.png平行且与下列两直线相交的直线

44b27236b7908c542c04f7915f876ee3.png和f8be83b0303947536a9361d7d7d5541f.png

(4)求过点823763cb3ec4d77662a911ea3ca1abda.png与fbade9e36a3f36d3d676c1b808451dd7.png轴相交,且与已知直线311e5a97ffd4eaee750971c1564d85f5.png垂直的直线方程

(三)有关知识补充:

1. 不在一条直线上的三点d0c92b1e4cc20bde0bea178120d237ff.png的平面等价于

81247d7e6c14fd82c0089f4c984f5bc7.png共面

ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png956ab041417962b8c7eb85f87d5d66f4.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png9c4b5dad930154e6660ea577beef1580.png。

2. 二条直线59a9fd72368111b688b2685ef8e83f31.png, b6d3a74b82885ed62ef25df7e95c29c8.png共面

ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngeeb9a673b992a7f94cbb258daf54748b.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnga049e990928db3b43a71c36f1c84f56d.png;

于是d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png异面ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png3bc0629abf7c32c42eac2930441ba840.png。

另外:d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png相交 ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png36d9bac141a7c99a4a133efb4aa645d4.png

3. 点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png到平面d2977253b5d7e48b291a02ab545fb8a3.png的距离

97d8ef6e7a634275271011fbe0677a43.png;

4. 点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png到直线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png(过点dcb9a28f8fa331b276ad424cb9f88221.png,方向向量为dc9c0173bda47d9a9f023278b5805481.png)的距离

c3dd129621c4ee69aa768e96751d8b4f.png

36c1b2caf88f65868651c8a29d6e6efc.png

5. 两条异面直线的公垂线方程

两条异面直线d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png,d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png的公垂线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png可以看作是过01aa9a794ceb8e0705dfd9e9c5e36b69.png的平面与过e7f9cfbb7386ccec137f69684c495630.png的

平面的交线,即

97a9d86ef5876f2e0a587e8544cc6093.png

写成分量的形式为

5d70714fd622c5b6f1b9141d46dd1940.png

此处,edfe43d6c841f69461b8882eb20f8efa.png。

6.两条异面直线之间的距离: 等于c5f21a2366847a7d2459ebcb9eecd93f.png在ea5880035658378830e28520596afb8f.png上的投影,即

613eba9c62b4929fcccfc0c3a4d3cba5.png。

例1. 直线L的方程为:

af238180f1517fd76fe00f1134e0d66f.png

问系数要满足什么条件,才能使得直线:

(1)过原点;(2)平行于x轴,但不与x轴重合;(3)与y轴相交;

(4)与z轴重合。(见北京大学2007考研题)

例2.已知二直线18ad3f07af7b18bfc2b56f5500bdbbd4.png,00f55394a3a61139fd14ebed4e009a2f.png

(1)说明它们异面;(2)求它们的公垂线方程;(3)求它们之间的距离。

解 (1)94a5cf82696b0a23732dfda314ce59b0.png,所以异面。

(2)54e8199ee91874eb4c75ee1c1e2f6a3f.png, 公垂线方程为

4858c8faa6385b929b6a86000f0a3478.png, 即ce18cadb897414b4da5bf2db11655ae2.png。

(3)距离为7a94208a81365cf62dd5f3678940d135.png。

同类型题:求直线f622889ccc5eed8008801c0c89482367.png和直线483c5a41f0aa6463b1af995933f04fc4.png的公垂线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程

及两条直线之间的距离.

解:先将给定的直线e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png及c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png的一般方程转化成对称式方程

f983b102dd8b63cc05677369d961f0fe.png

再按第二题的做法。 答案:2bbe597f2e4caf867486024ca0dff783.png

例3. 平面通过两直线5e0c20d6da208803fbeb795ca350268f.png和

35cabcd2f54c1c13520dfc095c461533.png的公垂线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png,且平行于向量018699bd4b8addd2d45abb22783bacbc.png,求此平面的方程

解 2f6a9a93430adc1a8e37708e23da793e.png,83489292eaefc7242696ea04b5fbe764.png。

设d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与2037d0e662b16f926348b2caed4ca02e.png的交点分别为6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png,则

28faa5f1a81364927d86c42546f42809.png,

b04fcfae08d6ec9c960d49856145a27e.png。

6940c012135b74cdfa6d714a1832e5e2.png,解得cd0490a45d6f0379d7d9b8b33f11ead3.png,ea59d7f1a5a2e0a0bcc2990abb688d96.png,

所求平面方程为8207a5a2655339560c24eb7a32bf87af.png,即920285acd8f588f2c1f1bf9bbc3ca52f.png。

例4. 一直线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png过点ea80d683090c0f33ccddf3c844740d44.png,与平面c34d7ff02177f7f9a2278917cc012fde.png平行,且和直线f4142a20f0b82edeaee1cc2158827af0.png相交,求此直线方程。

解 不妨设直线方程为ff116619ba4b9e81c805ad82de64c0ef.png,其中950606e3e924ca99adbb834b30a93735.png待定。

9bcfc3eebdae9dcfe831bee29f49f9ae.png。 (1)

d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png相交c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngd20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png共面c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png

0c4174886e73ef7b20e11f99b6f9993c.png。 (2)

由(1)和(2)得4bb1186c1a0d8f785a79a3a36b9e7e4f.png,代入d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png的方程得

c5200fd2257c41edb58c39c744a10e8d.png。

三.曲线族形成的曲面

(一) 柱面

1、设柱面的准线方程为1478150c6a46302f3b13c157c306110c.png,母线的方向向量bfc26ccdb5e6a77c92a539fbc707981a.png,求柱面方程

方法:在准线上任取一点d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png,则过点d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png的母线为

bff48b43b56ec720e5b01377e49a68fb.png

又因为d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png在准线上,故

de8e5d23e18e5628e6b86e55edb2fe40.png (1) cd92be4d3621e1aed44151d876d4ea50.png (2)

令 aee421455b6d17e07b5da59ccb35e91a.png (3)

由(1)、(2)、(3)消去36b37c21f767c491ef88ba430f4d768b.png求出e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png,再把e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png代入求出关于78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png的方程0a2c525d5b24f8c9df36d81bb90ba9da.png,则该方程为所求柱面方程

例1:柱面的准线为而母线的方向为求这柱面方程。

解:在柱面的准线上任取一点d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png,则过点d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png的母线为

d820e9845d35944823c4e43e01380f14.png

即1bbcace111dcdeee97c36bec3cd4e297.png(1)

又因为d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png在准线上,故9dd03632bce18c2b85b95f75f9fe0bc6.png(2),e10948d0799744289048266dd81e05d4.png(3)

由(1)(2)(3)得3cac062cafaee77f18540994488fe2c5.png

2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹,该距离为圆柱面的半径

把与一条定直线的距离是一个定常数的空间动点的轨迹称为直圆

柱面,定直线叫做直圆柱面的轴,定常数叫做直圆柱面的半径。

如果轴的方程为直线efa80ea9e710950e68612f1f0ed0f781.png,半径为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png,则直圆柱面的方程为

422843181b31e7ae9e7e6ed75ef429e2.png,其中61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png。

方法:在圆柱面上任取一点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png,过948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png点做一平面垂直于对称轴,该平面的法向量为对称轴的方向向量,把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png,则47a8e32ab8657748d4f730ec269c9bc4.png为圆柱的半径

例2:已知圆柱面的轴为(1,-2,1)在此圆柱面上,求这个圆柱面的方程。

解:设圆柱面上任取一点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png,过点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png且垂直于轴的平面为

8e51df904f8316e9d521b08c740caac2.png

轴方程的参数式为d5224e60af4e84fd7cb3565640d00054.png代入平面方程得

a4dba34e456dc34f37d49f302e807640.png

故该平面和轴的交点为

7c34eb0dd63e3a660221bf71d858b03c.png

过点(1,-2,1)和轴垂直的平面和轴的交点为5bafbf0f4f3d40c60a558954321a5696.png

因为圆柱截面的半径相等,故利用距离公式得

a1fbe4b55cfdeaffacdae03a7fa15513.png

注意:也可找圆柱面的准线圆处理

例3:求以直线x=y=z为对称轴,半径R=1的圆柱面方程

解:在圆柱面上任取一点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png,过点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png且垂直于轴的平面为

799bf62335bebacef9eca464f7508da3.png

轴方程的参数式为cc6c41e5aa2cf3717270737278fc6650.png代入平面方程得

c100dd56af3fb0c3ffed071fe63be371.png

故该平面和轴的交点为M1d67e02628ea2dc3b5677cd020abc9192.png

则57b3ce68ba082cdd159fd653d3fb4acd.png的长等于半径R=1

故利用距离公式得

5567e721e9afd6bc27f1337f4d4c64d9.png

即所求方程为2adfe02dbf16047dc79ae469c3706680.png

例4. 求过三条平行直线c4fde0191a94e6072cd0694c61f5d3cd.png的圆柱面方程。

解:过原点且垂直于已知三直线的平面为03b7c4f63513026c5664996734ad4899.png:它与已知直线的交点为759dd30683d3f7c4dcdc192f05bfaf4d.png,这三点所定的在平面03b7c4f63513026c5664996734ad4899.png上的圆的圆心为f4db3a2b8c74c513f6b063a18f74a4f2.png,圆的方程为:

821e3f95740898a46d7f6ed491188f33.png

此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png,且方向为79a7878ea1899547f4371f5562cc3f7a.png的直线方程为:

b73141dbed14cf1e9a7e09fca0272484.png

将此式代入准线方程,并消去e358efa489f58062f10dd7316b65649e.png得到:

d3e16b0aebc3395d99ee110906d74c99.png

此即为所求的圆柱面的方程。

附:(09年数学专业竞赛题)

求经过三条平行直线a280bf5e1d6fd5ee55678a3ebf11cfc1.png,3a1dfa10e969ab50fdd087bdf1ed9af7.png,16b31c894d4e4cda503d773fe299d191.png的圆柱面的方程. (15分)

(二) 锥面

锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线,定点为顶点,定曲线为准线。

1、设锥面的准线为1478150c6a46302f3b13c157c306110c.png,顶点为948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png,求锥面方程

方法:在准线上任取一点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png,则过点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png的母线为

38478294c8b9773358aa35a8c0631737.png (1)

又因为d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png在准线上,故

de8e5d23e18e5628e6b86e55edb2fe40.png (2) cd92be4d3621e1aed44151d876d4ea50.png (2)

由(1)、(2)、(3)消去36b37c21f767c491ef88ba430f4d768b.png求出关于78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png的方程0a2c525d5b24f8c9df36d81bb90ba9da.png,则该方程为所求锥面方程

例1锥面的顶点在原点,且准线为求这锥面方程。

解:在准线上任取一点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png,则过点8cfa8a7419cb5435bfdba17c5dd66e04.png的母线为

3d847523a590a78331802b8a851da285.png

又因为d1b7827d073a975cbfacc2a67a18d443.png在准线上,故74147070d9917246de3d01bd2ec97875.png且9437385aaae7be777a20132d218b7905.png

上面三个方程消去36b37c21f767c491ef88ba430f4d768b.png得

2、圆锥面

空间动点到一条定直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上的定点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的连线与该定直线的夹角成

定角,这样的动点的轨迹称为直圆锥面,定直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png和它上面的定点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png

分别叫做直圆锥面的轴和顶点,定角(锐角)叫做直圆锥面的半顶角。

如果轴的方程为直线131b6aa316937b19c9d10da12c5a05b2.png,13899aa46204b02713a854702142955d.png为顶点,7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为半顶角,则直

圆锥面的方程为

bb55f954d25cc46fc12f33ae4fe91a6e.png。

已知圆锥面的顶点948df659cee5fe0f1ea74142c7f0b95f.png,对称轴(或轴)的方向向量为

bfc26ccdb5e6a77c92a539fbc707981a.png,求圆锥面方程

方法:在母线上任取一点61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png,则过该点的母线的方向向量为

e2c434a6b9ca502cae4c39ca47b234f6.png

利用a6fd949fa6a446a32c2cb53933de41b8.png和68692f4c064fa9a840c741f325410eb3.png的夹角不变建立关于78b70da0fb6369f45abaccaaef4cabe9.png的方程,该方程为所求

例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解:在坐标轴上取三点4da78d7ddf65e831296827765d4be8bb.png,则过三点的平面为

2851f02aa2bd493a32b1d1fc09a0ecc7.png

故对称轴的方向向量为eef1707b922c6a822e838999cdc5a6c2.png,一条母线的方向向量为b445da84ad46d5b53cf91debd3ae9031.png,

则母线和对称轴的夹角为9ccf3d08b2b5db311932096ed47ecda9.png,即f31c3093e2deed9e5781bda841d59f72.png

在母线上任取一点61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png,则过该点的母线的方向向量为867979ad339190398e401117fef2700c.png

eaa25fba0b3fea085f35d6a0eed0ca65.png

所以11bec9628ffed76b76ac96eb7cc4d21d.png

例3圆锥面的顶点为18cd8c1a1d249d49958a25cdbe7c602b.png,轴垂直于平面a4c3401c898fa3f374aa2d0b83473b74.png,母线和轴成4a9d4d7f423027115a81bffd11e13008.png,求圆锥面方程

解:在母线上任取一点61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png,轴的方向向量为7b063b3b37e892bdb63dab7499af84c1.png,母线的方向向量为2004f6e7b8b05472ba9a875cc2448f7d.png

至少我们当年第一年的专业课是数学分析,高等代数,空间解析几何内容来自www.book6789.com请勿采集。

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