首页 > 知识库 > 正文

空间解析几何数学竞赛辅导

化成椭圆标准方程.必要的时候借助参数方程.因为这个方程是平移过的.找到两个焦点,然后中点坐标公式.解决www.book6789.com防采集请勿采集本网。

空间解析几何数学竞赛辅导

解析几何 要 多做 题,多 总结方 法啊,有 本《高 分》有这 个分册,我 看到过,我 用 的三 角函数 的 还 行,你 可 以 试 着 用 一下。

一. 向量代数

1、数三考高数上册的微分方程 2、下册的空间解析几何不考 3、下册曲线与曲面积分章节不考

1、已知空间中任意两点则向量

解析法肯定需要建立坐标系, 角平分线:以角两边上的单位向量为基向量a,b,则角平分线上的任意一点和角顶点连线的向量可以用k(a+b)表示出来。内心:内心是内切圆的圆心,也是三边中垂线的交点。

2、已知向量

11 直线方向数 {3,1,-2},平面法向量 {1,-2,-3} sint=[3*1+1*(-2)+(-2)(-3)]/[√(3^2+1+2^2)√(1+2^2+3^2)] 1/2,t=π/6 14.直线即(x-7)/(-2)=(y+1)/0=z/1 过点 M(7,-1,0),方向数 n={-2,0,1} 已知点 P(0,-

(1)向量的模为

方法:用向量法求得一个面的方程和该平面面积,再求出高,最后体积就出来了 AB=(0,0,1)AC=(-2,-2,1) 法向量n=ABXAC=(2,2,0) 平面ABC方程为2x+2y=0 又cos,AC>=AB*AC/(|AC|AB|)=1/(sqr1*sqr5)

(2)

(3)

3、向量的内积

(1)

(2)

其中为向量的夹角,且

注意:利用向量的内积可求直线与直线的夹角、直线与平面的夹角、平面与平面的夹角。

4、向量的外积(遵循右手原则,且

(1)

(2)

(3)几何意义:代表以为邻边的平行四边形的面积

平面上三点, ,构成的三角形的面积为

的绝对值

也可以写成的绝对值。

5. 混合积:

(1)注意:

(2)坐标表示:, 其中,

,

(3)几何意义:的绝对值表示以为三条邻边的平行六面体的体积。

共面的充要条件是

空间不共面的四点, , ,

构成的四面体的体积为

的绝对值。

(它实际是以为邻边的平行六面体的体积的六分之一)

例1 设径矢, , , 证明

垂直于ABC平面.

证明 :由于 =

[]

=

=,

所以 .同理可证 .所以

平面ABC.

例2.设P是球内一定点,A,B,C是球面上三个动点.

. 以PA,PB,PC为棱作平行六面体,

记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.(见北京大学2007考研题)

二.直线与平面方程

(一)、平面

1、平面的点法式方程

已知平面过点且法向量为则平面方程为

注意:法向量为垂直于平面

2、平面的一般方程其中法向量为

3、求平面方程的主要方法

(1)过直线的平面方程可设为

如果直线方程是点向式或参数式可转化为上述形式处理

例(1)在过直线的平面中找出一个平面,使原点到它的距离最长。

(2)平面过轴,且与平面的夹角为求该平面方程

(两平面夹角等于两法向量的夹角或两法向量的夹角的补角)

(3)求过点和直线的平面方程

(4)过直线作平面,使它平行于直线

(5)过平面的交线作切于球面的平面

(6)求由平面所构成的两面角的平分面方程

(2)利用点法式求平面方程

注意:(i)任何垂直于平面的向量均可作为平面的法向量

(ii)和平面平行的平面可设为

(iii)如存在两个向量和平面平行(或在平面内),则平面的法向量为

例1(1)已知两直线为求过两直线的平面方程

(2)求过两点,且垂直于平面的平面

(3)一平面垂直于向量且与坐标面围成的四面体体积为9,求平面方程

(4)已知球面与一通过球心且与直线垂直的平面相交,求它们的交线在面上的投影

例2.已知椭球面

试求过轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解 平面过轴,从而过原点,得。设法向量由平面过轴得垂直,得平面方程:。又都不符合题意,所以。不妨令它与椭球面的交线为

(1)

由于交线圆的圆心在原点,且该圆过点故该圆的方程也可表示为

(2)

比较(1)和(2)得

所求平面方程为:

(3)轨迹法求方程

方法:(i)设平面上任一一点(ii)列出含有的方程化简的平面方程

例 求由平面所构成的二面角的平分面的方程

(二)、直线

1、直线的对称式方程

过点且方向向量为直线方程

注意:方向向量和直线平行

2、直线的一般方程注意该直线为平面的交线

3、直线的参数方程

4、求直线方程的主要方法

(1)把直线的一般方程化为点向式方程

方法:已知直线方程为则该直线的方向向量为

在直线上任取一点则直线方程为

例化直线的一般方程为标准方程

(2)根据直线的方向向量求直线方程

例(1)过点且平行于两相交平面的直线方程

(2求过点且与直线平行的直线方程

(3)求过点且与平面平行,又与直线垂直的直线方程

注意:一直线和两直线垂直;一直线和两平面平行;一直线和一平面平行,和另一直线垂直均可确定直线的方向向量

(3)利用直线和直线的位置关系求直线方程

注意:(1)两直线平行,则其中为直线的方向向量

(2)两直线相交,则

(3)两直线异面,其中公垂线的方向向量为则两异面直线的距离为;公垂线方程为

例(1)求通过点且与两直线都相交的直线方程

解:设所求直线的方向向量为已知两直线的方向向量为且分别过点

所求直线为

(2)已知两异面直线求它们的距离与公垂线方程

(3)求与直线平行且与下列两直线相交的直线

(4)求过点轴相交,且与已知直线垂直的直线方程

(三)有关知识补充:

1. 不在一条直线上的三点的平面等价于

共面

2. 二条直线,共面

于是异面

另外:相交

3. 点到平面的距离

4. 点到直线(过点方向向量为)的距离

5. 两条异面直线的公垂线方程

两条异面直线,的公垂线可以看作是过的平面与过

平面的交线,即

写成分量的形式为

此处,

6.两条异面直线之间的距离: 等于上的投影,即

例1. 直线L的方程为:

问系数要满足什么条件,才能使得直线:

(1)过原点;(2)平行于x轴,但不与x轴重合;(3)与y轴相交;

(4)与z轴重合。(见北京大学2007考研题)

例2.已知二直线

(1)说明它们异面;(2)求它们的公垂线方程;(3)求它们之间的距离。

解 (1)所以异面。

(2), 公垂线方程为

(3)距离为

同类型题:求直线和直线的公垂线的方程

及两条直线之间的距离.

解:先将给定的直线的一般方程转化成对称式方程

再按第二题的做法。 答案:

例3. 平面通过两直线

的公垂线且平行于向量求此平面的方程

的交点分别为

解得

所求平面方程为

例4. 一直线过点与平面平行,且和直线相交,求此直线方程。

解 不妨设直线方程为其中待定。

。 (1)

相交共面

。 (2)

由(1)和(2)得代入的方程得

三.曲线族形成的曲面

(一) 柱面

1、设柱面的准线方程为母线的方向向量求柱面方程

方法:在准线上任取一点则过点的母线为

又因为在准线上,故

(1) (2)

(3)

由(1)、(2)、(3)消去求出再把代入求出关于的方程则该方程为所求柱面方程

例1:柱面的准线为而母线的方向为求这柱面方程。

解:在柱面的准线上任取一点则过点的母线为

(1)

又因为在准线上,故(2),(3)

由(1)(2)(3)得

2、圆柱面是动点到对称轴的距离相等的点的轨迹,该距离为圆柱面的半径

把与一条定直线的距离是一个定常数的空间动点的轨迹称为直圆

柱面,定直线叫做直圆柱面的轴,定常数叫做直圆柱面的半径。

如果轴的方程为直线半径为则直圆柱面的方程为

其中

方法:在圆柱面上任取一点点做一平面垂直于对称轴,该平面的法向量为对称轴的方向向量,把该平面方程和对称轴方程联立求得平面和对称轴的交点为圆柱的半径

例2:已知圆柱面的轴为(1,-2,1)在此圆柱面上,求这个圆柱面的方程。

解:设圆柱面上任取一点过点且垂直于轴的平面为

轴方程的参数式为代入平面方程得

故该平面和轴的交点为

过点(1,-2,1)和轴垂直的平面和轴的交点为

因为圆柱截面的半径相等,故利用距离公式得

注意:也可找圆柱面的准线圆处理

例3:求以直线x=y=z为对称轴,半径R=1的圆柱面方程

解:在圆柱面上任取一点过点且垂直于轴的平面为

轴方程的参数式为代入平面方程得

故该平面和轴的交点为M1

的长等于半径R=1

故利用距离公式得

即所求方程为

例4. 求过三条平行直线的圆柱面方程。

解:过原点且垂直于已知三直线的平面为:它与已知直线的交点为这三点所定的在平面上的圆的圆心为圆的方程为:

此即为欲求的圆柱面的准线。

又过准线上一点且方向为的直线方程为:

将此式代入准线方程,并消去得到:

此即为所求的圆柱面的方程。

附:(09年数学专业竞赛题)

求经过三条平行直线的圆柱面的方程. (15分)

(二) 锥面

锥面是指过定点且与定曲线相交的所有直线产生的曲面。这些直线是母线,定点为顶点,定曲线为准线。

1、设锥面的准线为顶点为求锥面方程

方法:在准线上任取一点则过点的母线为

(1)

又因为在准线上,故

(2) (2)

由(1)、(2)、(3)消去求出关于的方程则该方程为所求锥面方程

例1锥面的顶点在原点,且准线为求这锥面方程。

解:在准线上任取一点则过点的母线为

又因为在准线上,故

上面三个方程消去

2、圆锥面

空间动点到一条定直线上的定点的连线与该定直线的夹角成

定角,这样的动点的轨迹称为直圆锥面,定直线和它上面的定点

分别叫做直圆锥面的轴和顶点,定角(锐角)叫做直圆锥面的半顶角。

如果轴的方程为直线为顶点,为半顶角,则直

圆锥面的方程为

已知圆锥面的顶点对称轴(或轴)的方向向量为

求圆锥面方程

方法:在母线上任取一点则过该点的母线的方向向量为

利用的夹角不变建立关于的方程,该方程为所求

例2求以三根坐标轴为母线的圆锥面的方程。

解:在坐标轴上取三点则过三点的平面为

故对称轴的方向向量为一条母线的方向向量为

则母线和对称轴的夹角为

在母线上任取一点则过该点的母线的方向向量为

所以

例3圆锥面的顶点为轴垂直于平面母线和轴成求圆锥面方程

解:在母线上任取一点轴的方向向量为母线的方向向量为

你去看《奥经几何卷》最后一部分…还有二次曲线的切线方程的证明,这个要用偏微分的貌似(没学),反正有“竞赛补充的公式”的书里面基本上不会有这个证明的,除非你去看高等的数学…内容来自www.book6789.com请勿采集。

声明:本网内容收集自互联网,旨在传播知识仅供参考,不代表本网赞同其观点,文字及图片版权归原网站所有。

猜你喜欢
热门推荐
今日推荐 更多
相关信息 更多
可能关注