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唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试理科数学试题参考答案

唐山市2015—2016学年度高三年级第二次模拟考试

理科数学参考答案

一、选择题

A卷:BCCAD BACAB DC

B卷:BCBAD BADAB CC

二、填空题

(13) (14)14 (15)36π (16)(-∞,2]

三、解答题

(17)解:

(Ⅰ)由题设,2Sn=(n+1)2an-n2an+1,2Sn+1=(n+2)2an+1-(n+1)2an+2,

两式相减得(n+1)2(an+2+an)=2(n+1)2an+1,

由于(n+1)2>0,所以an+2+an=2an+1,即{an}为等差数列. …4分

由于2S1=4a1-a2=2a1,可得a2=2a1=4,所以{an}的公差为2,

故an=2n. …6分

(Ⅱ)由题设,bnbn+1=λ·2an,bn+1bn+2=λ·2an+1,

两式相除可得bn+2=4bn,

即{b2n}和{b2n-1}都是以4为公比的等比数列. …8分

因b1b2=λ·2a1=4λ,b1=1,所以b2=4λ,

由b3=4b1=4及b=b1b3得4λ2=1,又λ>0,所以λ=

所以b2n=2·4 n-1=22n-1,b2n-1=22n-2,即bn=2n-1,则bn+1=2bn.

因此存在λ=,使得数列{bn}为等比数列. …12分

(18)解:

(Ⅰ)由已知:=6,=10,=242,=220,

=-1.45,=18.7; …6分

所以回归直线的方程为=-1.45x+18.7

(Ⅱ)z=y-w=-1.45x+18.7-(0.05x2-1.75x+17.2)

=-0.05x2+0.3x+1.5

=-0.05(x-3)2+1.95

所以预测当x=3时,销售利润z取得最大值. …12分

(19)解:

(Ⅰ)∵直角三角形ABC中,∠BAC=60°,AC=4,

∴AB=8,AF=AB=2,由余弦定理得CF=2且CF⊥AB.

∵AD⊥平面ABC,CF平面ABC,∴AD⊥CF,

又AD∩AB=A,∴CF⊥平面DABE,

∴CF⊥DF,CF⊥EF.

∴∠DFE为二面角D-CF-E的平面角.

又AF=2,AD=3,BE=4,BF=6,

故Rt△ADF∽Rt△BFE.∴∠ADF=∠BFE,

∴∠AFD+∠BFE=∠AFD+∠ADF=90o,

∴∠DFE=90o,D-CF-E为直二面角.

∴平面CDF⊥平面CEF. …6分

(Ⅱ)以C为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系C-xyz,则C(0,0,0),

B(0,4,0),E(0,4,4),F(3,,0),M(0,a,0),(0≤a≤4

=(3,,0),=(0,a-4,-4),

∵异面直线CF与EM所成角的余弦值为

∴|cos

,

|=

解得a=,故CM=. …12分

(20)解:

(Ⅰ)设A(x0,),B(x1,),D(x2,).(x0>0)

由y'=得kBD=,又kBD=,所以,即x0==xM.

故AM与y轴平行. …4分

(Ⅱ)法一:

由A,B,F共线可得kAF=kBF,所以(x0x1+4)(x0-x1)=0,

因x0-x1≠0,所以x0x1=-4,即x1=-. …6分

直线BD的方程为y=(x-x1)++2,所以yM=+2. …8分

由(Ⅰ)得S△ABD=2S△ABM=|+2-|×|x1-x0|

=|+2|×|x0+|=(x0+)3≥16,

当且仅当x0=即x0=2时等号成立,故S的最小值为16. …12分

法二:

直线BD的方程为y=(x-x1)+,yM=(x0-x1)+,得yM-y0=

则S△ABD=2S△ABM=

设直线AB:y=kx+1,代入x2=4y得x2-4kx-4=0,

则|x0-x1|=4≥4,故S△ABD≥16(k=0时等号成立).

(21)解:

(Ⅰ)f

(x)=lnx+1,设切点为(x0,x0lnx0+a),得

解得x0=1,a=1. …4分

(Ⅱ)证明:xex-1[f(x)-2]+f(x)≥0

xex-1(xlnx-1)+(xlnx+1)≥0,

xex-1(xlnx+1)+(xlnx+1)≥2xex-1

(xex-1+1)(xlnx+1)≥2xex-1

(lnx+)(x+e1-x)≥2. …6分

设g(x)=lnx+,h(x)=x+e1-x,则g

(x)=,h

(x)=1-e1-x,

所以g(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

即g(x)的最小值为g(1)=1; …9分

h(x)在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,

即h(x)的最小值为h(1)=2, …11分

所以(lnx+)(x+e1-x)≥2,(x=1时等号成立)

故原不等式成立. …12分

(22)解:

(Ⅰ)因为AE与圆O相切于点A,所以∠CAE=∠CBA;

因为四边形ABCD内接于圆O,所以∠CBA=∠ADE;

又已知∠ADE=∠BDC,所以∠BDC=∠CAE,

故A,E,D,F四点共圆. …5分

(Ⅱ)由(Ⅰ)得∠ADE=∠AFE=∠BDC,

又∠BDC=∠BAC(同弧所对的圆周角相等),

所以∠AFE=∠BAC,故AB∥EF. …10分

(23)解:

(Ⅰ)由(φ为参数,0<φ<π)得(x-1)2+y2=1(0<y≤1),

所以曲线C1的极坐标方程为ρ=2cosθ(0<θ<). …5分

(Ⅱ)由题意可设A(ρ1,θ),C(2,θ)(0<θ<),

则|AC|=2-ρ1=2-2cosθ,|BC|=2+ρ1=2+2cosθ,

所以|AC|·|BC|=4sin2θ∈(0,4). …10分

(24)解:

(Ⅰ)当m=2时,f(x)=

由f(x)的单调性及f()=f(-1)=4,

得f(x)<4的解集为{x|-1<x<}. …5分

(Ⅱ)由f(x)≥2m得|x+1|≥m (2-|x-1|),

因为m<0,

所以-|x+1|≥|x-1|-2,

在同一直角坐标系中画出

y=|x-1|-2及y=-|x+1|的图像,

根据图像性质可得-≥1,即-1≤m<0,

故m的最小值为-1. …10分

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