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高代竞赛辅导第10章-空间解析几何

第一章 函数与极限第一节 映射与函数教材习题1-1全解第二节 数列的极限教材习题1-2全解第三节 函数的极限教材习题1-3全解第四节 无穷小与无穷大教材习题1-4全解第五节 极限运算法则教材习题1-5全解第六节 极限存在准则两个重要极限教材习题1-6全解第七节 无穷小的比较教材习题1-7全解第八节 函数的连续性与间断点教材习题1-8全解第九节 连续函数的运算与初等函数的连续性教材习题1-9全解第十节 闭区间上连续函数的性质教材习题1-10全解本章知识结构及内容小结教材总习题一全解自测题及参考答案第二章 导数与微分第一节 导数概念教材习题2-1全解第二节 函数的求导法则教材习题2-2全解第三节 高阶导数教材习题2-3全解第四节 隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率教材习题2-4全解第五节 函数的微分教材习题2-5全解本章知识结构及内容小结教材总习题二全解自测题及参考答案第三章 微分中值定理与导数的应用第一节 微分中值定理教材习题3-1全解第二节 洛必达法则教材习题3-2全解第三节 泰勒公式教材习题3-3全解第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性教材习题3-4全解第五节 函数的极值与最大值最小值教材习题3-5全解第六节 函数图形的描绘教材习题3-6全解第七节 曲率教材习题3-7全解第八节 方程的近似解教材习题3-8全解本章知识结构及内容小结教材总习题三解答自测题及参考答案第四章 不定积分第一节 不定积分的概念与性质教材习题4-1全解第二节 换元积分法教材习题4-2全解第三节 分部积分法教材习题4-3全解第四节 有理函数的积分教材习题4-4全解第五节 积分表的使用教材习题4-5全解本章知识结构及内容小结教材总习题四解答自测题及参考答案第五章 定积分第一节 定积分的概念与性质教材习题5-1解答第二节 微积分基本公式教材习题5-2解答第三节 定积分的换元法和分部积分法教材习题5 3解答第四节 反常积分教材习题5-4解答第五节 反常积分的审敛法 T函数教材习题5-5解答本章知识结构及内容小结教材总习题五解答自测题及参考答案第六章 定积分的应用第一节 定积分的元素法第二节 定积分在几何上的应用教材习题6-2解答第三节 定积分在物理学上的应用教材习题6-3解答本章知识结构及内容小结教材总习题六解答自测题及参考答案第七章 微分方程第一节 微分方程的基本概念教材习题7-1解答第二节 可分离变量的微分方程教材习题7-2解答第三节 齐次方程教材习题7-3解答第四节 一阶线性微分方程教材习题7-4解答第五节 可降阶的高阶微分方程教材习题7-5解答第六节 高阶线性微分方程教材习题7-6解答第七节 常系数齐次线性微分方程教材习题7-7解答第八节 常系数非齐次线性微分方程教材习题7-8解答第九节 欧拉方程教材习题7-9解答第十节 常系数线性微分方程组解法举例教材习题7 10解答本章知识结构及内容小结教材总习题七解答自测题及参考答案第八章 空间解析几何与向量代数第一节 向量及其线性运算教材习题8-1解答第二节 数量积向量积混合积教材习题8-2解答第三节 曲面及其方程教材习题8-3解答第四节 空间曲线及其方程教材习题8-4解答第五节 平面及其方程教材习题8-5解答第六节 空间直线及其方程教材习题8-6解答本章知识结构及内容小结教材总习题八解答自测题及参考答案第九章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念教材习题9-1解答第二节 偏导数教材习题9-2解答第三节 全微分教材习题9 3解答第四节 多元复合函数的求导法则教材习题9-4解答第五节 隐函数的求导公式教材习题9-5解答第六节 多元函数微分学的几何应用教材习题9-6解答第七节 方向导数与梯度教材习题9-7解答第八节 多元函数的极值及其求法教材习题9-8解答第九节 二元函数的泰勒公式(略)教材习题9-9解答第十节 最小二乘法(略)教材习题9-10解答本章知识结构及内容小结教材总习题九解答自测题及参考答案第十章 重积分第一节 二重积分的概念及计算教材习题10-1解答第二节 二重积分的计算法教材习题10-2解答第三节 三重积分教材习题10-3解答第四节 重积分的应用教材习题10-4解答第五节 含参变量的积分教材习题10-5解答本章知识结构及内容小结教材总习题十解答自测题及参考答案第十一章 曲线积分与曲面积分第一节 对弧长的曲线积分教材习题11-1解答第二节 对坐标的曲线积分教材习题11-2解答第三节 格林公式及其应用教材习题11-3解答第四节 对面积的曲面积分教材习题11-4解答第五节 对坐标的曲面积分教材习题11-5解答第六节 高斯公式通量与散度教材习题11-6解答第七节 斯托克斯公式环流量与旋度教材习题11-7解答本章知识结构及内容小结教材总习题十一解答自测题及参考答案第十二章 无穷级数第一节 常数项级数的概念和性质教材习题12-1解答第二节 常数项级数的审敛法教材习题12-2解答第三节 幂级数教材习题12-3解答第四节 函数展开成幂级数教材习题12-4解答第五节 函数的幂级数展开式的应用教材习题12-5解答第六节 函数项级数的一致收敛性及一致收敛级数的基本性质教材习题12-6解答第七节 傅里叶级数教材习题12-7解答第八节 一般周期函数的傅里叶级数教材习题12-8解答本章知识结构及内容小结教材总习题十二解答自测题及参考答案望采纳www.book6789.com防采集请勿采集本网。

高代竞赛辅导第10章-空间解析几何 一. 向量代数

线性代数:研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用于抽象代数和泛函分析中;高等代数:主要以证明为主

1. 数量积(内积):efa31f357fc3f6473963a4c460c23bbf.png 7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png是078d08e40b7200545f2475d64885e634.png之间的夹角。

第二章 空间向量与立体几何 1.从平面向量到空间向量 2.空间向量的运算 3.向量的坐标表示和空间向量基本定理 3.1空间向量的标准正交分解与坐标表示 3.2空间向量基本定理 3.3空间向量运算的坐标表示 4.用

2. 向量积(外积):39ac295fc5077c213f7fa8d4531e25a4.png eb118a92d4dbf3fab4d9f83ffc76bf75.png 1fbe1afcb34488a313edac12ad58b204.png 4ea92186119a05ce270153c910bf5434.png

P62 谢谢你,幸亏有你,不枉此生 终章: 需要花很长时间的手术。但是,手术并没有成功。唯有成功地恢复了记忆而已。走出集中治疗室,再度与智代开始并肩的朋也。剩余的时间即便再短暂也是漫长的

构成右手系。

线性代数(Linear Algebra)是数学的一个分支,它的研究对象是向量,向量空间(或称线性空间),线性变换和有限维的线性方程组。向量空间是现代数学的一个重要课题;因而,线性代数被广泛地应用

6659d1899c65863ed9f6730b669a0b7a.png

第八章空间解析几何与向量代数 第九章多元函数微分法及其应用 第十章重积分 第十一章曲线积分与曲面积分 第十二章无穷级数 拓展资料: 《高等数学(第6版)》是同济大学数学系编《高等数学》的7a686964616fe

ce0e4ad4d25ba51d2f362e8de37813ed.png

3. 坐标表示:

52ed7ac478376c625cd61ce04e478b14.png,

6e81e7cdce86fc15219b197ac78f1649.png, 其中,0081cf4996691dab6ce1d38609ef6967.png,638f642bff5479bf5b00785155e4610b.png。

4. 几何意义: 1567163b51c8f535eaf5bc30a735a134.png代表以078d08e40b7200545f2475d64885e634.png为邻边的平行四边形的面积fb3de807a65c1b9a0ddb4a3fc811e516.png;

平面上三点999779c534cc87ee6218a4d02f96bd78.png,62f743269e886ec9bbf77b3a50cf1430.png,af7ced8a16455c41cfad6848b0c81205.png构成的三角形的面积为

42012c3ae80dfbcb9852e515b4c7f080.png

e3509f8f573627a9af52342ede318073.png的绝对值

也可以写成223b1c41b0cc4901d0dd294db0d5419d.png的绝对值。

5. 混合积:6641b6483798eb115909b796228eb8fd.png。 注意:2a9430282af2332cd79e66810fca29a5.png

6. 坐标表示:e1f5b08ddde576c1032094cfbe3be6a7.png, 其中,

0081cf4996691dab6ce1d38609ef6967.png,638f642bff5479bf5b00785155e4610b.png, e454288ec049b6cdeaf2f67f789617f9.png。

7. 几何意义:40ced3233c2a3ec38451e48ef77aa517.png的绝对值表示以41def62ddeb6f7baae447c80991dc01d.png为三条邻边的平行六面体的

体积。 41def62ddeb6f7baae447c80991dc01d.png共面的充要条件是67d14e9af2a3841690748b4a18ddf58f.png。

空间不共面的四点170ed200a6b8dfa7a47a11aad0ae693f.png,888349c935467129489e04356e1c6536.png,691381a937495af6a17a9ef210b2635a.png,65ada3e50ff4d22c052be73755a36d27.png构成的

四面体的体积为

1c3f9c7368b3099389aa5db24962988f.png的绝对值。

(它实际是以ea54aa169be520f635122b4ffc4fa1e9.png为邻边的平行六面体的体积的六分之一)

例1. 用向量方法证明: 三角形三条边上的高交于一点.

证明 设533c003242f935720a3ff6d1bc2c631e.png三条边上的高分别为e9581b6571777f1334ce5fc097850b67.png(如图)。

要证e9581b6571777f1334ce5fc097850b67.png交于一点,只需证e182ebbc166d73366e7986813a7fc5f1.png与d3dcf429c679f9af82eb9a3b31c4df44.png的交点c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png也在758951cac5e62129e654698c8ca0333b.png上,

即证1ee0bf89c5d1032317d13a2e022793c8.png垂直于b86fc6b051f63d73de262d4c34e3a0a9.png就行。

在平面上取定一点f186217753c37b9b9f958d906208506e.png,因为85306a2e73fb53752cc63d2695ea1e92.png,所以

72607fe31bdc044894553efe951b9095.png即 0442fdc5f57d3fc3f90ef23a6c42e297.png。 (1)

同理,因为560bf96ce6909143302429f28896afa4.png,所以

757dfd6aba9c583adc4db1b6e5a19d82.png即 f0e538a1de476d63acb1fa4977dc1afa.png。 (2)

(1),(2)两式相加得

7edaf81ad451ebf79a02d6ca4cf11fa8.png,即 2fe897e1934098865e40c6dadeb65d6b.png,

所以 9c86eb2b7e68e91055372d88b5ba22cf.png,即c1d9f50f86825a1a2302ec2449c17196.png也在758951cac5e62129e654698c8ca0333b.png上

例2.设P是球内一定点,A,B,C是球面上三个动点.

6acc855c78e8ec447049ab1f58bc06c0.png. 以PA,PB,PC为棱作平行六面体,

记与P相对的顶点为Q,求Q点的轨迹.(见北京大学2007考研题)

二.直线与平面方程

有关知识补充:

1. 不在一条直线上的三点d0c92b1e4cc20bde0bea178120d237ff.png的平面等价于

81247d7e6c14fd82c0089f4c984f5bc7.png共面ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png956ab041417962b8c7eb85f87d5d66f4.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png9c4b5dad930154e6660ea577beef1580.png。

2. 二条直线59a9fd72368111b688b2685ef8e83f31.png, b6d3a74b82885ed62ef25df7e95c29c8.png共面

ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pngeeb9a673b992a7f94cbb258daf54748b.pngce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.pnga049e990928db3b43a71c36f1c84f56d.png;

于是d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png异面ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png3bc0629abf7c32c42eac2930441ba840.png。

另外:d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png相交 ce357ab6ce19991b864bf7e6a01b9da7.png36d9bac141a7c99a4a133efb4aa645d4.png

3. 点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png到平面d2977253b5d7e48b291a02ab545fb8a3.png的距离

97d8ef6e7a634275271011fbe0677a43.png;

4. 点ee837118b97571cb792eb8e4d52b0d08.png到直线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png(过点dcb9a28f8fa331b276ad424cb9f88221.png,方向向量为dc9c0173bda47d9a9f023278b5805481.png)的距离

c3dd129621c4ee69aa768e96751d8b4f.png

36c1b2caf88f65868651c8a29d6e6efc.png

5. 两条异面直线的公垂线方程

两条异面直线d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png,d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png的公垂线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png可以看作是过01aa9a794ceb8e0705dfd9e9c5e36b69.png的平面与过e7f9cfbb7386ccec137f69684c495630.png的

平面的交线,即

97a9d86ef5876f2e0a587e8544cc6093.png

写成分量的形式为

5d70714fd622c5b6f1b9141d46dd1940.png

此处,edfe43d6c841f69461b8882eb20f8efa.png。

6.两条异面直线之间的距离: 等于c5f21a2366847a7d2459ebcb9eecd93f.png在ea5880035658378830e28520596afb8f.png上的投影,即

613eba9c62b4929fcccfc0c3a4d3cba5.png。

例1. 直线L的方程为:

af238180f1517fd76fe00f1134e0d66f.png

问系数要满足什么条件,才能使得直线:

(1)过原点;(2)平行于x轴,但不与x轴重合;(3)与y轴相交;

(4)与z轴重合。(见北京大学2007考研题)

例2.已知二直线18ad3f07af7b18bfc2b56f5500bdbbd4.png,00f55394a3a61139fd14ebed4e009a2f.png

(1)说明它们异面;(2)求它们的公垂线方程;(3)求它们之间的距离。

解 (1)94a5cf82696b0a23732dfda314ce59b0.png,所以异面。

(2)54e8199ee91874eb4c75ee1c1e2f6a3f.png, 公垂线方程为

4858c8faa6385b929b6a86000f0a3478.png, 即ce18cadb897414b4da5bf2db11655ae2.png。

(3)距离为7a94208a81365cf62dd5f3678940d135.png。

同类型题:求直线f622889ccc5eed8008801c0c89482367.png和直线483c5a41f0aa6463b1af995933f04fc4.png的公垂线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png的方程

及两条直线之间的距离.

解:先将给定的直线e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png及c7b5cb501695b127a4a5203ecdf63d70.png的一般方程转化成对称式方程

f983b102dd8b63cc05677369d961f0fe.png

再按第二题的做法。 答案:2bbe597f2e4caf867486024ca0dff783.png

例3. 平面通过两直线5e0c20d6da208803fbeb795ca350268f.png和35cabcd2f54c1c13520dfc095c461533.png的公垂线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png,且平行于向量018699bd4b8addd2d45abb22783bacbc.png,求此平面的方程

解 2f6a9a93430adc1a8e37708e23da793e.png,83489292eaefc7242696ea04b5fbe764.png。

设d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与2037d0e662b16f926348b2caed4ca02e.png的交点分别为6c30b42101939c7bdf95f4c1052d615c.png,则

28faa5f1a81364927d86c42546f42809.png,

b04fcfae08d6ec9c960d49856145a27e.png。

6940c012135b74cdfa6d714a1832e5e2.png,解得cd0490a45d6f0379d7d9b8b33f11ead3.png,ea59d7f1a5a2e0a0bcc2990abb688d96.png,

所求平面方程为8207a5a2655339560c24eb7a32bf87af.png,即920285acd8f588f2c1f1bf9bbc3ca52f.png。

例4. 一直线d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png过点ea80d683090c0f33ccddf3c844740d44.png,与平面c34d7ff02177f7f9a2278917cc012fde.png平行,且和直线f4142a20f0b82edeaee1cc2158827af0.png相交,求此直线方程。

解 不妨设直线方程为ff116619ba4b9e81c805ad82de64c0ef.png,其中950606e3e924ca99adbb834b30a93735.png待定。

9bcfc3eebdae9dcfe831bee29f49f9ae.png。 (1)

d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png相交c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.pngd20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png与e6c5419e04a1206d2b1ba0ec48009362.png共面c747017dd963feee68eba362e4fd95e6.png

0c4174886e73ef7b20e11f99b6f9993c.png。 (2)

由(1)和(2)得4bb1186c1a0d8f785a79a3a36b9e7e4f.png,代入d20caec3b48a1eef164cb4ca81ba2587.png的方程得

c5200fd2257c41edb58c39c744a10e8d.png。

例5. 已知曲面

2b92dd871b56cc8e0efb406268a9f11e.png

与某一平面的交线的对称中心在坐标原点,求该平面方程。

解 已知平面经过原点,若平面为34ac9cd22e43d2b390637e622955199b.png,则

3f51db005346def4992197fd6e30b03d.png

该曲线关于原点不对称,故34ac9cd22e43d2b390637e622955199b.png不为所求;同样,4d34869e88d36a977647b82b1dd605d9.png都不为所求。

设所求平面方程为:f3963b5c909072190dd3de79324b6969.png(也可以2ac5ee1c93d64eba50f7f404233af10e.png)。将a48f7af89566aad61324640c0977f5a0.png代入原曲面方程,得

7357217a6012d3b712e1b2acf91946a4.png即

17ab83bcb018aca662e27eb6c6e846da.png。

它关于原点对称相当于0c1ef12c1e2845808d48b347e95f12cf.png用fec7d737c888462c87d9ac412c992c77.png代替不变,这只需要一次项0c1ef12c1e2845808d48b347e95f12cf.png的

系数为0,即ac2fe58abcd05a21c7e034bf649f22c1.png,得

所求平面方程为:2520eaaca2af7c0bef030f44e317fb4d.png。

例6.已知椭球面

5b7ca30235a49b613b5f4d922bfc6219.png 5885fc960e2ec5a0c28b84229712f9ad.png,

试求过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴且与椭球面的交线是圆的平面方程。

解 平面过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴,从而过原点,得23ded4c3f6dae981aea9b1ad7949f3e3.png。设法向量6bb167f047af1de8fa569513c80a356a.png,由平面过9dd4e461268c8034f5c8564e155c67a6.png轴得6bb167f047af1de8fa569513c80a356a.png与3cc83337d0197144d9faf4300a8481aa.png垂直,得357e564112c8be448ad371ce602b0658.png,平面方程:eef888682a365abd2f426e7cd3d475ed.png。又fab37d6c4a697fe660387d3ff8e889a4.png与8fcd01a17ad602c542f98b916cba57f4.png都不符合题意,所以c1fed22ef2207edd0aa439641f0d7296.png。不妨令dd595428d6f5707c6f1124078adc1728.png,它与椭球面的交线为

c24205e13f41393734fceb278dd7e05b.png (1)

由于交线圆的圆心在原点,且该圆过点4a7c83b2739220e7811b512634e59290.png,故该圆的方程也可表示为

20da081de7829f861b94b1eb1668bb54.png (2)

比较(1)和(2)得 2967d183548cec5676e0170c275fe1e7.png,

所求平面方程为:7cfa8d95cca78d0329799d1888f7443f.png。

三.曲线族形成的曲面

1. 柱面方程

给定准线faa2d910ab34209a12cb55940e1499ad.png, 母线方向dc9c0173bda47d9a9f023278b5805481.png,有

6c52f7544693d5e675615e1fb270e9a8.png,

消去00eb1cfbd17679d2b2b526c27d944650.png即为所求柱面。

2. 直圆柱面方程

把与一条定直线的距离是一个定常数的空间动点的轨迹称为直圆

柱面,定直线叫做直圆柱面的轴,定常数叫做直圆柱面的半径。

如果轴的方程为直线efa80ea9e710950e68612f1f0ed0f781.png,半径为e1e1d3d40573127e9ee0480caf1283d6.png,则直圆柱面的方程为

422843181b31e7ae9e7e6ed75ef429e2.png,其中61070cc4d9f4471a6f42b9e3c72fd1f4.png。

例1.(15分)求经过三条平行直线a280bf5e1d6fd5ee55678a3ebf11cfc1.png,3a1dfa10e969ab50fdd087bdf1ed9af7.png,16b31c894d4e4cda503d773fe299d191.png的圆柱面的方程.

(北京市09年数学专业竞赛题)

3. 锥面方程:

给定准线faa2d910ab34209a12cb55940e1499ad.png, 定点dcb9a28f8fa331b276ad424cb9f88221.png,有

0caa0ada05c0aab4008a1658af89656d.png,

消去00eb1cfbd17679d2b2b526c27d944650.png即为所求锥面。

4. 直圆锥面方程:

空间动点到一条定直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png上的定点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png的连线与该定直线的夹角成

定角,这样的动点的轨迹称为直圆锥面,定直线2db95e8e1a9267b7a1188556b2013b33.png和它上面的定点7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png

分别叫做直圆锥面的轴和顶点,定角(锐角)叫做直圆锥面的半顶角。

如果轴的方程为直线131b6aa316937b19c9d10da12c5a05b2.png,13899aa46204b02713a854702142955d.png为顶点,7943b5fdf911af3ffcf9d8f738478e8a.png为半顶角,则直

圆锥面的方程为

bb55f954d25cc46fc12f33ae4fe91a6e.png。

例2. 已知两条直线a280bf5e1d6fd5ee55678a3ebf11cfc1.png,d9d655e0f6e413ac030ef93fee1442ff.png。

(1)问:参数b345e1dc09f20fdefdea469f09167892.png满足什么条件时,d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png是异面直线?

(2)当d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png不重合时,求d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png绕d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png旋转所生成的旋转曲面31bf0b12546409e15021243132fc7574.png的方程,并指出曲面31bf0b12546409e15021243132fc7574.png的类型。

(09年首届全国大学生数学专业竞赛题)

解 (1)4daa5c3d52cd70599ecaa1458d18039a.png,6c13fc050e9ee62468eb3886f30af7bb.png,

931d4c78386b6ba8635ee4f52f953af0.png,

所以当7d2c97e352983c5b4332dd88742c1132.png且b593070d4214e5cfb1365a41f0d8d9ba.png时,d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png是异面直线。

(2)d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png不重合意味着不能同时有13e7dc67883c56d929c5c602c95a3705.png,于是

当0c28fa4e6d89cbcf6ea32ab825594537.png时,d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png平行不重合,此时d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png绕d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png旋转所生成的旋转曲面31bf0b12546409e15021243132fc7574.png为直圆柱面,其方程满足

e2cd9aefdd989f6df7adaa1ff8589ff2.png

化简整理得

716804ba83effcdc0990a9d854d33183.png。

当ae0dc4b3af8d014a4b50cb5720fa7b3e.png时,bc9a46911bfeadc0d526e078a80a89a2.png,此时d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png相交于原点,d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png绕d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png旋转所生成的旋转曲面31bf0b12546409e15021243132fc7574.png为直圆锥面,方程满足

83869697a739e8aa774ba0738956009f.png,

化简整理得

db5abe36ad0ef9b1f96a79a88d918791.png。

5. 旋转曲面:

给定母线C:faa2d910ab34209a12cb55940e1499ad.png, 它绕直线0ca6896fd9bf7313818001d9d3eda18c.png旋转的曲面,相当于以

7fc56270e7a70fa81a5935b72eacbe29.png为球心e3994ee6c0c057295596830673b79cb3.png长为半径的球面,与过13899aa46204b02713a854702142955d.png以dc9c0173bda47d9a9f023278b5805481.png为法向量的平面的

交线为曲线族形成的曲面,从而有

817932e5169c8585183d2b97993703f3.png,

消去00eb1cfbd17679d2b2b526c27d944650.png即为所求旋转曲面。

特别,当定直线L为坐标轴,如z轴时,取a=b=c=0,

773bbcbc30512f5ac55d03f4f1f59354.png,此时,后两个方程变为:

5bf6ee926dc57156fda01657692f813d.png,即ad79df1d89ccff66b9ad0bc9ed9f3b16.png,

再由前两个方程(指66d99852a2e80a56748ebf6204ea94b1.png,2b8d6e37f83db09545011ddfd8f6ff44.png)将cb328ac8d48a42c18a5630e049be644a.png用c3130f2b5221651fb09ccdf2f515e1f0.png表示,

即得所求旋转曲面。

例1. 求直线40da90a0f67a71d3871d3ff46c647dec.png绕直线649fb0475ff5d30975faefe39b46e62f.png旋转一周所得旋转曲面的方程。

解 本题:291dcb935e155f205634b516c4029505.png 母线40da90a0f67a71d3871d3ff46c647dec.png,

88f7008ede5542ea5489ae2c1e9ca138.png, 5784eea255df8e8b31d01e21cae7eb40.png

由(3)得07910ed802efc1b3d6500c2a0c0148c7.png,由(2)得80fb06a7017bcd009ecc50a4380bfea0.png,

52d9da0ddf6fddb3f6974d3a2aed319a.png,再代入(1)得

000afa764914d3d649d0c17b440a5a9f.png,

化简得7d0b3a840236b3fbce231dc3ae0c5b4d.png。

四.特殊二次曲面方程

1. 椭球面:5b7ca30235a49b613b5f4d922bfc6219.png;

2. 虚椭球面:b2eaedf599cb85ef990f269b0cf6806d.png

3. 单叶双曲面:1045909dda98a7c9bf6407124fa7b222.png

(1)它有渐近锥面:8260060f5a62a3440f7b728cc504aea5.png

(类似于双曲线45b71004573972dd1ed36b0340f53450.png有渐近线8411492e9c6e1fbf88353eda8dff1872.png,即c971dc74a774f4e234017f8b58910834.png)

(2)单叶双曲面的直纹性:

由bdf1f522db4007705b6fc5e2a741bddb.png, 055684a5c68a011410538decf3db9594.png,得两族直母线

23be7d47fe6f21acfa7f4677f2cf5afa.png,与 33e79dbd2ec2678fe46d84b87990dc82.png。

例1.直线l的方程为: 24539200411f56a2969085ca50c26224.png,求l绕z轴旋转一周得到的旋转曲面的方程, 并判断它是何种平面.

解 ad79df1d89ccff66b9ad0bc9ed9f3b16.png,a9e66fbcb8f5bc2b749fd54c101c2b88.png,消去00eb1cfbd17679d2b2b526c27d944650.png得所求旋转

曲面方程。由a9e66fbcb8f5bc2b749fd54c101c2b88.png得f91591d6c5ca9539b7252755e58cf754.png,代入f2582e711a48bda9bb1225012e51983d.png

得b15add9d301a569e493a8a65dd07caeb.png,化简整理得

4120fe22e448056c0f9a3f90b0bb8a10.png。

与单叶双曲面:1045909dda98a7c9bf6407124fa7b222.png相比较得出:所求旋转曲面为单叶双曲面,

顶点在3311a026f9414a63c23529d2a3910e77.png,3个轴的长度分别为5d3e778e74cbf9f8d805ed3ed507354e.png。

4. 双叶双曲面:3ed801d80463d35c2bade9da058d4268.png

它也有渐近锥面:8260060f5a62a3440f7b728cc504aea5.png,

但双叶双曲面没有直纹性。

5. 椭圆抛物面:d0b7d9eeb61ba332b7ed78b2a7c77598.png

6. 双曲抛物面(马鞍面):08890c4a492b81f37691e11b50ccc84a.png

双曲抛物面也有直纹性。 由bc90c2c3929c06237afea1d497ccd427.png,得两族直母线

8d160b77dddd8306c7e7b9c7175aaf1c.png 与 19f306214b65bc7083999677375a188e.png 。

例1 证明双曲抛物面08890c4a492b81f37691e11b50ccc84a.png的相互垂直的直母线的交点在双曲线上.

证明 08890c4a492b81f37691e11b50ccc84a.png的两族直母线分别为

e0dea444cd0059f83fe8dea6dd65b98d.png8d160b77dddd8306c7e7b9c7175aaf1c.png , f4b010dd202fd0418234746a7f6db59e.png 19f306214b65bc7083999677375a188e.png 。

d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png的方向向量分别为

486b4a0464b075e01f0e1a61137dc182.png,

c8e7c93750363c57c89d15a8da7a102a.png。

ad97d3ad5dea82f56a9995348dab3f2c.png。

由d748e209c28a70d71adff098dde47f2c.png与d843d71869425cb9eefb67d52e20c972.png联立得a48ccc0529854db439a2520d96a98319.png,从而相互垂直的直母线的交点满足

1d4923bd9f7c5d209fec0c98666c4c5f.png,

这正好是平面6e5bcd4ae56fd569c82766a5117bb0cd.png内的一条双曲线,结论成立。

例2 就6af8e2f02f674b41b6ccf43debc252d2.png的值讨论方程

db353a316faa2cc4c46f276cbfcb33fc.png

表示哪种曲面。

解 当a038c52ef004650dba500af94bc0f2c5.png时,方程可改写为

6cfea4f387b453121c9a1a50c6ce830e.png。 于是,

(1)当c4b446837483b1714a478c5e7a5d539c.png时,表示双叶双曲面;

(2)当9757593dec1e42f624978b3d94982477.png时,表示椭球面;

(3)当3bf274095ffd1195f33e30a48d07e43e.png时,表示一点;

(4)当8dbf56d060bb3d66c8f673d71dcd3644.png时,表示虚椭球面;

当73d710b4dc696eda8617bb0460a3a29d.png时,方程可改写为

debdfc01cb2c415d0747c3243242fc7f.png,

表示椭圆抛物面。

例3. 求椭球面5b7ca30235a49b613b5f4d922bfc6219.png被点(2,1,?1)平分的弦.

(见北京大学2007考研题)

五.二次曲线(见教材的相关章节)

一般形式:

1eeb939147dcac7158e2f3bfc7b2e631.png。 (1)

引入:c8aa9cf348a62a096814a9142050139b.png;

f7585e1a1a88f66ac02168e5d1fc1e39.png;

f3e1a165ceeed9165f8e302b66c442f7.png。

系数矩阵:97957d598a7c8e9cbf08b6b55989e240.png,

增广矩阵:c1dfbb97c466122f31ff90b6b8c55b39.png

曲线(1)上满足 0a85d87e39bdfeae0ae6787da44ff27d.png的点称为奇异点,简称奇点,非奇异点称为正常点。

在曲线上的正常点处的切线方程为:

de1b4040b6c89c965101eb5267d45781.png (2)

在奇点处的切线不确定。

满足条件2d3b068951b0e3adbefd3da4f5821bc5.png的方向697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png称为渐近方向,否则称为非渐近方向。

注:92fb94f2cceafb43809657337a0b6b9d.png。

记7d65fb08686a99f4ec6f28e35833c382.png 595b4e40c0de7e27b29e7fa56f1319f9.png,则

当31e00e746b5e927eac62516dbd40bddb.png时,有一对共轭虚方向;当741758077fe146e806c293c819e6aa61.png时,有两个实渐近方向;当

53cdb5fb050a69375df196eea1b84aad.png时,有唯一的实渐近方向6a7ce07bdc168cb2438569f16e6052bf.png。

给定一个非渐近方向697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png,则与697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png平行的直线与二次曲线总交于两点dd37ca4db7ba2d76dd1ba3ae3a3dc59a.png,线段dd37ca4db7ba2d76dd1ba3ae3a3dc59a.png称为弦,这些弦的中点形成一条直线,叫做共轭于697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png的直径;把这条直径的方向(注意: 不是697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png)叫做697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png的共轭方向,共轭方向对应的直径叫共轭直径。

对给定的非渐近方向697cb12c9c0e4e47b038211b561d5730.png,它所对应的直径为:

064b89c4ff0e0ee686540df6c4f686b6.png。 (3)

它的共轭方向为f326ad038f4b26c34b22563a38dda233.png,

共轭直径的方程为:

c6ecd47e6c7309fc8160d87216023323.png (4)

在第十章记述挪亚三个儿子闪、含、雅弗的后代。表面上看来,好像是挪亚的后裔已经分布在全地,满足了神要他们生养众多,遍满全地的要求。但事实上,他们的分散并不是在神的心意里面,而是在神的惩治里头,因为挪亚后代的分布是根据十一章上半的历史。大概是在闪的第五代时,这个事情就发生了。我们先注意十章二十五节,「希伯生了两个儿子,一个叫法勒,"法勒就是分的意思”,因为那时人就分地居住。(创10:25)巴别塔的建造在法勒的日子,是闪第五代的孙子的时候。记录了闪、含和雅弗的后代的分布以后,圣灵都用相同的字眼来作说明。第五节、第二十节、第三十一节,「各随他们的宗族,方言,所住的地土,邦国。分布状况实际是说到他们在神面前所受到的惩治的结果。不是他们顺服神,遵行神的旨意的结果。在第九章提到含和迦南的后裔要受到咒诅。但在第十章里,这两个受咒诅的对像是非常地发达和作重点记录。受咒诅的倒表现得满有成就,说出了一个非常严肃的问题,就是神和撒但在人中间所进行的属灵的争战:神指明迦南和含是该受咒诅的,但是撒但却要抬举含和迦南。在含后代的里面有一个孙子叫宁录,是个大英雄。他是古实的儿子。古实在北非,也就是现今埃及的一个大区。宁录从埃及出来,到了示拿地,就是巴别的地区,在那里建立他的国。然后又从那个地方出来建立了亚述,特别是那个大城尼尼微。将这几件事串起来,埃及、巴比伦就是示拿,和亚述,在圣经里头这些地方所表明的都是抵挡神的基地,是世界的记号,是站在与神作对头的地位上的。这是从宁录手中带出来的大事业。这是从属灵的角度来看的。从人的角度来看,宁录是一个了不起的人。但他在神的眼中只是会打猎。第九节中说,「他在耶和华面前是个英勇的猎户。(创10:9)神并不要打猎的人,神要的是敬畏神的人,寻求神的人,与神同行的人。看律法上所记的,凡是流血的都不是神所喜悦的。虽然撒但扶持被咒诅的人,要让他们在神面前显大。但在神面前,他们实在算不了什么,没有什么可纪念的。迦南的儿子和他的后代就是迦南人,居住的地方叫迦南地。迦南地里面有耶路撒冷,整个迦南是神的应许地,耶路撒冷是神立为他的名之地,这是当时迦南居住的地的境界。被咒诅的宗族,不但在人面前冒出头来,而且抢先霸占神立为他名的地方。在含的后代里,发生了两件大事。第一,就是建立巴比伦。第二,就是抢先占领了耶路撒冷。撒但可以扶持着受咒诅的人抢先,却不能改变神的计内容来自www.book6789.com请勿采集。

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