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天津市河西区2016高三二模数学试卷答案(理科)

河西区2015—2016学年度第二学期高三年级总复习质量调查(二)

数学试卷(理工类)参考答案及评分标准

一、选择题:本大题共8小题,每小题5分,共40分.

CBCA CBAD

二、填空题:本大题共6小题,每小题5分,共30分.

(9) (10) (11) (12) (13) (14)

三、解答题:本大题共6小题,共80分.

(15)(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:因为函数的最小正周期为

所以,解得. …………3分

所以

所以的定义域为|. …………6分

(Ⅱ)解:因为,即

,解得, …………9分

所以. …………13分

(16)(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:经计算,

据此估计,班的学生平均每周上网时长为18小时,班的学生平均每周上网时长为22小时. …………3分

(Ⅱ)解:班的样本数据中上网时长不小于21小时的有2个,从中有放回地抽取2个数据,恰有1个数据为“过度用网”的概率为. …………6分

(Ⅲ)解:随机变量的取值为0,1,2,3,4,

随机变量的分布列为:

0

1

2

3

4

…………11分

的数学期望是.…………13分

(17)(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:以为原点,以所在直线分别为轴,轴,轴建立空间直角坐标系, …………1分

由题意得,

,平面的一个法向量n1

,即

,得n1

因为·n1

所以n1,

∥平面. …………4分

(Ⅱ)解:设平面的一个法向量n2

,即

,得n2

设平面的一个法向量n3

所以, …………6分

由图可知二面角为锐二面角,

所以二面角的大小为. …………8分

(Ⅲ)解:设存在点满足条件,由

),整理得

, …………10分

因为直线与平面所成角的大小为

所以

,由,所以,即点和点重合,

故在线段上存在一点,且. …………13分

(18)(本小题满分13分)

(Ⅰ)解:由题意,设抛物线的方程为),

所以抛物线的方程为. …………4分

(Ⅱ)解:由题意,直线的斜率存在,设

直线的方程为, …………5分

,消去,整理得

, …………8分

从而, …………9分

,解得点的横坐标

同理点的横坐标

所以, …………11分

,则

时,

时,

综上所述,当,即时,的最小值是. …………13分(19)(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:圆的圆心到直线的距离,半径

所以,即, …………3分

,所以数列是首项为1,公比为2的等比数列,

. …………5分

(Ⅱ)解:由(Ⅰ)知,, …………6分

所以

两式相减,得

所以. …………9分

(Ⅲ)证明:因为,所以

所以

, …………11分

所以

. …………14分

(20)(本小题满分14分)

(Ⅰ)解:当时,曲线

设切点坐标为

,所以斜率,则切线方程为

因为切线过点,所以,解得

所以切线方程为. …………3分

(Ⅱ)解:函数的定义域为

时,恒成立,

函数的单调递增区间为

时,

函数的单调递增区间为

时,

函数的单调递增区间为. …………7分

(Ⅲ)解:

,得

由题意,方程有两个不相等的正数根,且

,解得

,则

,得, …………9分

所以

时,,即函数上的增函数,

所以,故的取值范围是, …………11分

同理可求

时,,即函数上的减函数,

所以,故的取值范围是, …………12分

时,

时, . …………14分

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